Seja
qualquer curva unindo qualquer ponto na circunferência
a qualquer ponto na circunferência
. Seja
. Mostre que
tem sempre o valor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de qualquer curva
que liga um ponto na circunferência de raio
a um ponto na circunferência de raio
, onde
. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha e campos conservativos. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no campo vetorial
. Isso pode parecer meio complicado, mas podemos simplificar escrevendo em termos de coordenadas polares. Sabemos que
, então
. Assim, o campo fica
.
Passo 3
Agora, queremos ver se esse campo é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial
, ou seja,
. Se
for conservativo, a integral de linha dependerá apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho escolhido.
Passo 4
Vamos tentar encontrar a função potencial
. Como
, podemos escrever
em coordenadas polares. Sabemos que
, então
.
Passo 5
Para encontrar
, vamos integrar a componente radial de
em relação a
. A componente radial de
é
, então:
Podemos ignorar a constante
porque ela será cancelada na diferença.
Passo 6
Agora que temos a função potencial
, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando
nos pontos final e inicial. Supondo que o ponto inicial está na circunferência de raio
e o final na de raio
:
Resposta
A integral
sempre vale
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
é dada por (a)
, sen
.
Seja
.
© Calcule , orientada no sentido anti-horário.
© Calcule
Calcule
de
a
ao longo
(b) de
(b) de
Calcule
de
a
, ao longo
(a) do segmento de reta
(a) do segmento de reta