Seja C qualquer curva unindo qualquer ponto na circunferência x^2+y^2=a^2 a qualquer ponto na circunferência x^2+y^2=b^2, b>a>0. Seja F(x, y)=3(x^2+y^2)^12(x, y). Mostre que integralC F cdot d r tem sempre o valor b^3-a^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de qualquer curva que liga um ponto na circunferência de raio a um ponto na circunferência de raio , onde . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha e campos conservativos. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no campo vetorial . Isso pode parecer meio complicado, mas podemos simplificar escrevendo em termos de coordenadas polares. Sabemos que , então . Assim, o campo fica .

Passo 3

Agora, queremos ver se esse campo é conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial , ou seja, . Se for conservativo, a integral de linha dependerá apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho escolhido.

Passo 4

Vamos tentar encontrar a função potencial . Como , podemos escrever em coordenadas polares. Sabemos que , então .

Passo 5

Para encontrar Phi(r) = integral 3r^2 dr = r^3 + C , vamos integrar a componente radial de em relação a . A componente radial de é , então:
Podemos ignorar a constante porque ela será cancelada na diferença.

Passo 6

Agora que temos a função potencial integralC F cdot dr = Phi(b) - Phi(a) = b^3 - a^3 , podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando nos pontos final e inicial. Supondo que o ponto inicial está na circunferência de raio e o final na de raio :

Resposta

A integral sempre vale .

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