Calcule integralC 3 x z d x+4 y z d y+2 x y d z, do ponto A=(0,0,0) ao ponto B=(1,1,2), ao longo dos seguintes caminhos:
(a) segmento de reta A B

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
integralC 3 x z , dx + 4 y z , dy + 2 x y , dz
indo do ponto até o ponto seguindo o caminho que é o segmento de reta entre A e B. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha. Precisamos parametrizar o caminho, substituir os valores na integral e calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho de A até B. Como é um segmento de reta, podemos usar um parâmetro x(t) = 0 + (1-0)t = t y(t) = 0 + (1-0)t = t z(t) = 0 + (2-0)t = 2t que varia de 0 a 1. Assim, as coordenadas em função de ficam:
Então, nossa parametrização é com entre 0 e 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas das funções em relação a dxdt = 1, dydt = 1, dzdt = 2 para obter dx = dt, dy = dt, dz = 2,dt , e :
Então,

Passo 4

Vamos substituir integral0^1 [ 3 cdot t cdot 2t cdot dt + 4 cdot t cdot 2t cdot dt + 2 cdot t cdot t cdot 2,dt ] , 3 cdot t cdot 2t = 6t^2 4 cdot t cdot 2t = 8t^2 2 cdot t cdot t cdot 2 = 4t^2 , integral0^1 (6t^2 + 8t^2 + 4t^2) , dt = integral0^1 18t^2 , dt , , e na integral original:
Simplificando cada termo:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^1 18t^2 , dt = 18 integral0^1 t^2 , dt
A integral de 18 [ t^33 ]0^1 = 18 ( 13 - 0 ) = 18 cdot 13 = 6 é , então:

Resposta

A integral de linha ao longo do segmento de reta é igual a 6.

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