Calcule , do ponto ao ponto , ao longo dos seguintes caminhos:
(a) segmento de reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
indo do ponto até o ponto seguindo o caminho que é o segmento de reta entre A e B. Para isso, vamos usar o conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha. Precisamos parametrizar o caminho, substituir os valores na integral e calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o caminho de A até B. Como é um segmento de reta, podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1. Assim, as coordenadas em função de ficam:
Então, nossa parametrização é com entre 0 e 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das funções em relação a para obter , e :
Então,
Passo 4
Vamos substituir , , , , e na integral original:
Simplificando cada termo:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
A integral de é , então:
Resposta
A integral de linha ao longo do segmento de reta é igual a 6.