Seja a interseção do cilindro com o semiplano , percorrida de modo que sua projeção no plano tenha sentido anti-horário e seja . Calcule a integral .

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre calcular uma integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . Essa curva é a interseção do cilindro com o semiplano , onde . Além disso, a projeção dessa curva no plano é percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha com integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada é igual à integral de superfície da rotacional de sobre uma superfície limitada por . Em fórmulas, isso é:
Onde é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos calcular a rotacional de . A rotacional de um campo vetorial é dado por:
Para nosso campo:
Calculando as derivadas parciais, temos:
Simplificando:

Passo 4

Vimos que a rotacional de é o vetor nulo. Agora, aplicando o Teorema de Stokes, temos:
Isso significa que a integral de linha ao longo da curva é igual a zero.

Resposta

A integral vale 0.

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Calcule , do ponto ao ponto , ao longo dos seguintes caminhos:
(a) segmento de reta
Calcule de a ao longo
(a) do eixo
Calcule de a ao longo
© da poligonal de vértices: e
Calcule de a , ao longo
(b) do arco de parábola