Seja C a interseção do cilindro x^2+y^2=4 com o semiplano y+z=0, y >= 0, percorrida de modo que sua projeção no plano x y tenha sentido anti-horário e seja F(x, y, z)=x^4 i+y^4 j+z^4 k. Calcule a integral integralC F cdot d r.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre calcular uma integral de linha de um campo vetorial F(x, y, z) = x^4 i + y^4 j + z^4 k ao longo de uma curva C. Essa curva C é a interseção do cilindro x^2 + y^2 = 4 com o semiplano y + z = 0, onde y >= 0. Além disso, a projeção dessa curva no plano xy é percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha com integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva fechada C é igual à integral de superfície da rotacional de F sobre uma superfície S limitada por C. Em fórmulas, isso é:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Vamos calcular a rotacional de F. A rotacional de um campo vetorial F = Pi + Qj + Rk é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Para nosso campo:
  • P = x^4
  • Q = y^4
  • R = z^4
Calculando as derivadas parciais, temos:
nabla times F = ( partial z^4partial y - partial y^4partial z ) i + ( partial x^4partial z - partial z^4partial x ) j + ( partial y^4partial x - partial x^4partial y ) k
Simplificando:
nabla times F = (0 - 0)i + (0 - 0)j + (0 - 0)k = 0

Passo 4

Vimos que a rotacional de F é o vetor nulo. Agora, aplicando o Teorema de Stokes, temos:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS 0 cdot n , dS = 0
Isso significa que a integral de linha ao longo da curva C é igual a zero.

Resposta

A integral integralC F cdot d r vale 0.

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