Seja
a interseção do cilindro
com o semiplano
, percorrida de modo que sua projeção no plano
tenha sentido anti-horário e seja
. Calcule a integral
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre calcular uma integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. Essa curva
é a interseção do cilindro
com o semiplano
, onde
. Além disso, a projeção dessa curva no plano
é percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha com integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva fechada
é igual à integral de superfície da rotacional de
sobre uma superfície
limitada por
. Em fórmulas, isso é:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Vamos calcular a rotacional de
. A rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Para nosso campo:
Calculando as derivadas parciais, temos:
Simplificando:
Passo 4
Vimos que a rotacional de
é o vetor nulo. Agora, aplicando o Teorema de Stokes, temos:
Isso significa que a integral de linha ao longo da curva
é igual a zero.
Resposta
A integral
vale 0.
Exercícios relacionados
Calcule
, do ponto
ao ponto
, ao longo dos seguintes caminhos:
(a) segmento de reta
(a) segmento de reta
Calcule
de
a
ao longo
(a) do eixo
(a) do eixo
Calcule
de
a
ao longo
© da poligonal de vértices: e
© da poligonal de vértices:
Calcule
de
a
, ao longo
(b) do arco de parábola
(b) do arco de parábola