Calcule , onde é o trapezóide com vértices e , orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Então, temos que calcular a integral de linha onde é um trapézio com vértices em , , e , e está orientado no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pelo caminho.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções e na integral de linha, onde a integral é da forma . Aqui, e .
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que para uma região simples e positivamente orientada, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais e .
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 6
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região , que é um trapézio com vértices em , , e . Observando o trapézio, para variando de a , e para cada , varia de até a linha que conecta a para de a , e de a para de a .
Passo 7
Dividimos a integral dupla em duas partes para facilitar: