Calcule , onde é o trapezóide com vértices e , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de linha onde é um trapézio com vértices em , , e , e está orientado no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pelo caminho.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções e na integral de linha, onde a integral é da forma . Aqui, e .

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que para uma região simples e positivamente orientada, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Substituindo na expressão do Teorema de Green:

Passo 6

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região , que é um trapézio com vértices em , , e . Observando o trapézio, para variando de a , e para cada , varia de até a linha que conecta a para de a , e de a para de a .

Passo 7

Dividimos a integral dupla em duas partes para facilitar:
  1. Para de a , varia de a (linha ).
  2. Para de a , varia de a .
Então:

Passo 8

Calculando as integrais internas:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 9

Agora, integramos em relação a :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 10

Somando as duas partes:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Seja a porção da curva entre e . Encontre .
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
11.
Calcule . onde é segmento de linha de a .
Determine todos os valores de que satisfazem a desigualdade abaixo: