Calcule integralC x^2 y d x-(x+y) d y, onde C é o trapezóide com vértices (0,0),(3,0),(3,1) e (1,1), orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de linha integralC x^2 y , dx - (x+y) , dy onde C é um trapézio com vértices em (0,0), (3,0), (3,1) e (1,1), e está orientado no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pelo caminho.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções P(x,y) e Q(x,y) na integral de linha, onde a integral é da forma integralC P , dx + Q , dy. Aqui, P = x^2 y e Q = -(x + y).

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que para uma região D simples e positivamente orientada, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Então, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 4

Calculando as derivadas:
partial Qpartial x = partialpartial x ( -x - y ) = -1
partial Ppartial y = partialpartial y ( x^2 y ) = x^2

Passo 5

Substituindo na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( -1 - x^2 ) dA = integral duplaD (-1 - x^2) , dA

Passo 6

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região D, que é um trapézio com vértices em (0,0), (3,0), (3,1) e (1,1). Observando o trapézio, para x variando de 0 a 3, e para cada x, y varia de 0 até a linha que conecta (0,0) a (1,1) para x de 0 a 1, e de (3,0) a (3,1) para x de 1 a 3.

Passo 7

Dividimos a integral dupla em duas partes para facilitar:
  1. Para x de 0 a 1, y varia de 0 a x (linha y = x).
  2. Para x de 1 a 3, y varia de 0 a 1.
Então:
integral duplaD (-1 - x^2) , dA = integral0^1 integral0^x (-1 - x^2) , dy , dx + integral1^3 integral0^1 (-1 - x^2) , dy , dx

Passo 8

Calculando as integrais internas:
  1. Para 0 <= x <= 1:
integral0^x (-1 - x^2) , dy = (-1 - x^2) cdot y |0^x = (-1 - x^2)x
  1. Para 1 <= x <= 3:
integral0^1 (-1 - x^2) , dy = (-1 - x^2) cdot y |0^1 = (-1 - x^2) cdot 1 = -1 - x^2

Passo 9

Agora, integramos em relação a x:
  1. Para 0 <= x <= 1:
integral0^1 (-1 - x^2)x , dx = integral0^1 (-x - x^3) , dx = ( -12x^2 - 14x^4 ) |0^1 = -12 - 14 = -34
  1. Para 1 <= x <= 3:
integral1^3 (-1 - x^2) , dx = ( -x - 13x^3 ) |1^3 = ( -3 - 273 ) - ( -1 - 13 ) = (-3 - 9) - (-1 - 13) = -12 + 43 = -323

Passo 10

Somando as duas partes:
-34 + ( -323 ) = -34 - 323 = -912 - 12812 = -13712

Resposta

A integral integralC x^2 y , dx - (x+y) , dy vale -dfrac13712.

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