Calcule . onde é segmento de linha de a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai do ponto até . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva , ou seja, expressar , e em função de um parâmetro, geralmente chamado de , que varia de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta de até . A parametrização linear de uma reta entre dois pontos e é dada por:
onde varia de 0 a 1. Aplicando isso aos nossos pontos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de , e em relação a , que serão , e :
Essas derivadas são usadas para substituir , e na integral original.

Passo 4

Vamos substituir , , , , e na integral:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo dentro da integral:
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 6

Somando tudo dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule , onde é o trapezóide com vértices e , orientado no sentido anti-horário.
Seja a porção da curva entre e . Encontre .
Determine todos os valores de que satisfazem a desigualdade abaixo:
Sejam e . Determine as funçöes compostas e e seus respectivos domínios.