Calcule integralC y z d x-x z d y+x y d z. onde C é segmento de linha de (1,1,2) a (5,3,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai do ponto até . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva , ou seja, expressar , e em função de um parâmetro, geralmente chamado de , que varia de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta de x(t) = x0 + (x1 - x0)t até y(t) = y0 + (y1 - y0)t . A parametrização linear de uma reta entre dois pontos z(t) = z0 + (z1 - z0)t e x(t) = 1 + (5 - 1)t = 1 + 4t é dada por:
y(t) = 1 + (3 - 1)t = 1 + 2t
z(t) = 2 + (1 - 2)t = 2 - t
onde varia de 0 a 1. Aplicando isso aos nossos pontos:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de dxdt = 4 , dydt = 2 e dzdt = -1 em relação a , que serão , e :
Essas derivadas são usadas para substituir , e na integral original.

Passo 4

Vamos substituir integral0^1 [y(t)z(t) cdot dx/dt - x(t)z(t) cdot dy/dt + x(t)y(t) cdot dz/dt] , dt , integral0^1 [(1 + 2t)(2 - t) cdot 4 - (1 + 4t)(2 - t) cdot 2 + (1 + 4t)(1 + 2t) cdot (-1)] , dt , , , e na integral:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo dentro da integral:
  1. (2 - t + 4t - 2t^2) cdot 4 = (2 + 3t - 2t^2) cdot 4 = 8 + 12t - 8t^2 :
-(2 - t + 8t - 4t^2) cdot 2 = -(2 + 7t - 4t^2) cdot 2 = -4 - 14t + 8t^2
  1. (1 + 2t + 4t + 8t^2) cdot (-1) = (1 + 6t + 8t^2) cdot (-1) = -1 - 6t - 8t^2 :
  1. :

Passo 6

Somando tudo dentro da integral:
(8 + 12t - 8t^2) + (-4 - 14t + 8t^2) + (-1 - 6t - 8t^2) = 3 - 8t
Então, a integral fica:
integral0^1 (3 - 8t) , dt

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^1 3 , dt - integral0^1 8t , dt = 3t |0^1 - 4t^2 |0^1 = 3(1) - 4(1)^2 - [3(0) - 4(0)^2] = 3 - 4 = -1

Resposta

A integral vale .

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