Seja a porção da curva entre e . Encontre .

Passo 1

Então, temos que trabalhar com uma curva, que é a parte de entre os pontos e . O que precisamos encontrar é a integral , que basicamente soma valores ao longo dessa curva. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais de linha, onde representa um pequeno pedaço do comprimento da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. A equação dada é , então podemos usar como parâmetro. Assim, podemos escrever:
onde varia de 1 a 9.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar , que é o diferencial de comprimento da curva. A fórmula para em termos de é:
Vamos calcular as derivadas:

Passo 4

Substituindo as derivadas na fórmula de :
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração, que não precisamos para a integral definida.

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de 1 a 9:
Calculando as potências:
Substituindo:

Resposta

O valor da integral é aproximadamente 115.18.

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
11.
Encontre , onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
e)
Calcule , onde é o trapezóide com vértices e , orientado no sentido anti-horário.
Calcule . onde é segmento de linha de a .