Seja C a porção da curva y=2 raizx entre (1,2) e (9,6). Encontre integralC 3 y d s.

Passo 1

Então, temos que trabalhar com uma curva, que é a parte de entre os pontos e . O que precisamos encontrar é a integral , que basicamente soma valores ao longo dessa curva. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais de linha, onde representa um pequeno pedaço do comprimento da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva. A equação dada é x = t y = 2 raizt , então podemos usar como parâmetro. Assim, podemos escrever:
onde varia de 1 a 9.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt , que é o diferencial de comprimento da curva. A fórmula para dxdt = 1 dydt = 22 raizt = 1raizt em termos de é:
Vamos calcular as derivadas:

Passo 4

Substituindo as derivadas na fórmula de ds = raiz1^2 + (1raizt)^2 , dt = raiz1 + 1t , dt = raizt + 1t , dt = raiz t + 1t , dt :
ds = raizt + 1t , dt = raiz1 + 1t , dt
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos integralC 3y , ds = integral1^9 3 cdot 2 raizt cdot raiz1 + 1t , dt = integral1^9 6 raizt cdot raiz1 + 1t , dt e raizt cdot raiz1 + 1t = raizt (1 + 1t) = raizt + 1 na integral original:
integral1^9 6 raizt + 1 , dt
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral 6 raizt + 1 , dt = 6 cdot 23 (t + 1)^3/2 + C = 4 (t + 1)^3/2 + C em relação a :
Onde é a constante de integração, que não precisamos para a integral definida.

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de 1 a 9:
[ 4 (t + 1)^3/2 ]1^9 = 4 ( (9 + 1)^3/2 - (1 + 1)^3/2 ) = 4 (10^3/2 - 2^3/2)
Calculando as potências:
10^3/2 = raiz10^3 = raiz1000 approx 31.622 2^3/2 = raiz2^3 = raiz8 approx 2.828
Substituindo:
4 (31.622 - 2.828) = 4 times 28.794 approx 115.176

Resposta

O valor da integral é aproximadamente 115.18.

Exercícios relacionados