Seja
a porção da curva
entre
e
. Encontre
.
Passo 1
Então, temos que trabalhar com uma curva, que é a parte de
entre os pontos
e
. O que precisamos encontrar é a integral
, que basicamente soma valores ao longo dessa curva. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais de linha, onde
representa um pequeno pedaço do comprimento da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva. A equação dada é
, então podemos usar
como parâmetro. Assim, podemos escrever:
onde
varia de 1 a 9.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é o diferencial de comprimento da curva. A fórmula para
em termos de
é:
Vamos calcular as derivadas:
Passo 4
Substituindo as derivadas na fórmula de
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos para a integral definida.
Passo 7
Aplicamos os limites de integração de 1 a 9:
Calculando as potências:
Substituindo:
Resposta
O valor da integral
é aproximadamente 115.18.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
11.
11.
Encontre
, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
e)
e)
Calcule
, onde
é o trapezóide com vértices
e
, orientado no sentido anti-horário.
Calcule
. onde
é segmento de linha de
a
.