Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
11. lim (x, y) (0,0) x y+cos y3 x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, x e y, aproximando-se de (0,0). O conteúdo aqui é de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando nos aproximamos de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada:
lim (x, y) (0,0) x y+cos y3 x^2+y^2
Queremos ver se esse limite existe, ou seja, se todos os caminhos que levamos (x, y) a (0,0) resultam no mesmo valor para a expressão acima.

Passo 3

Vamos começar examinando o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0. Substituindo y por 0 na função:
x cdot 0 + cos 03x^2 + 0^2 = 0 + 13x^2 = 13x^2
Agora, quando x se aproxima de 0, o denominador 3x^2 também se aproxima de 0, tornando toda a expressão 13x^2 tendendo ao infinito positivo.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0. Substituindo x por 0 na função:
0 cdot y + cos y3 cdot 0^2 + y^2 = cos yy^2
À medida que y se aproxima de 0, cos y se aproxima de 1, e y^2 se aproxima de 0. Portanto, a expressão cos yy^2 também tende ao infinito positivo.

Passo 5

Até agora, ambos os caminhos ( y=0 e x=0) levaram a expressão tendendo ao infinito positivo. Mas precisamos verificar outros caminhos para ter certeza. Vamos tentar o caminho y = kx, onde k é uma constante.
Substituindo y por kx na função:
x cdot kx + cos(kx)3x^2 + (kx)^2 = kx^2 + cos(kx)3x^2 + k^2x^2 = kx^2 + cos(kx)x^2(3 + k^2)
Simplificando:
kx^2x^2(3 + k^2) + cos(kx)x^2(3 + k^2) = k3 + k^2 + cos(kx)x^2(3 + k^2)
À medida que x se aproxima de 0, cos(kx) se aproxima de 1, então a expressão cos(kx)x^2(3 + k^2) tende ao infinito positivo.

Passo 6

Como em todos os caminhos testados até agora, a expressão tende ao infinito positivo, parece que o limite é infinito. No entanto, para ser rigoroso, precisamos confirmar se não há caminhos que levem a diferentes comportamentos.

Passo 7

Vamos tentar um caminho onde y se aproxima de 0 mais rapidamente que x, por exemplo, y = x^2. Substituindo y por x^2 na função:
x cdot x^2 + cos(x^2)3x^2 + (x^2)^2 = x^3 + cos(x^2)3x^2 + x^4
À medida que x se aproxima de 0, cos(x^2) se aproxima de 1, então:
x^3 + 13x^2 + x^4 approx 13x^2
Novamente, a expressão tende ao infinito positivo.

Passo 8

Em todos os caminhos testados, a expressão tende ao infinito positivo. Isso indica que o limite não existe de forma finita, mas sabemos que ele tende ao infinito.

Resposta

O limite tende ao infinito positivo, ou seja, não existe um limite finito para lim (x, y) (0,0) x y+cos y3 x^2+y^2.

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