Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
11.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , aproximando-se de . O conteúdo aqui é de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando nos aproximamos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada:
Queremos ver se esse limite existe, ou seja, se todos os caminhos que levamos a resultam no mesmo valor para a expressão acima.

Passo 3

Vamos começar examinando o limite ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo por na função:
Agora, quando se aproxima de , o denominador também se aproxima de , tornando toda a expressão tendendo ao infinito positivo.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo por na função:
À medida que se aproxima de , se aproxima de , e se aproxima de . Portanto, a expressão também tende ao infinito positivo.

Passo 5

Até agora, ambos os caminhos ( e ) levaram a expressão tendendo ao infinito positivo. Mas precisamos verificar outros caminhos para ter certeza. Vamos tentar o caminho , onde é uma constante.
Substituindo por na função:
Simplificando:
À medida que se aproxima de , se aproxima de , então a expressão tende ao infinito positivo.

Passo 6

Como em todos os caminhos testados até agora, a expressão tende ao infinito positivo, parece que o limite é infinito. No entanto, para ser rigoroso, precisamos confirmar se não há caminhos que levem a diferentes comportamentos.

Passo 7

Vamos tentar um caminho onde se aproxima de mais rapidamente que , por exemplo, . Substituindo por na função:
À medida que se aproxima de , se aproxima de , então:
Novamente, a expressão tende ao infinito positivo.

Passo 8

Em todos os caminhos testados, a expressão tende ao infinito positivo. Isso indica que o limite não existe de forma finita, mas sabemos que ele tende ao infinito.

Resposta

O limite tende ao infinito positivo, ou seja, não existe um limite finito para .

Exercícios relacionados

Encontre , onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
e)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
8.
Seja a porção da curva entre e . Encontre .
Calcule , onde é o trapezóide com vértices e , orientado no sentido anti-horário.