Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
11.
11.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, aproximando-se de
. O conteúdo aqui é de Cálculo Multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dada:
Queremos ver se esse limite existe, ou seja, se todos os caminhos que levamos
a
resultam no mesmo valor para a expressão acima.
Passo 3
Vamos começar examinando o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
por
na função:
Agora, quando
se aproxima de
, o denominador
também se aproxima de
, tornando toda a expressão
tendendo ao infinito positivo.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
por
na função:
À medida que
se aproxima de
,
se aproxima de
, e
se aproxima de
. Portanto, a expressão
também tende ao infinito positivo.
Passo 5
Até agora, ambos os caminhos (
e
) levaram a expressão tendendo ao infinito positivo. Mas precisamos verificar outros caminhos para ter certeza. Vamos tentar o caminho
, onde
é uma constante.
Substituindo
por
na função:
Simplificando:
À medida que
se aproxima de
,
se aproxima de
, então a expressão
tende ao infinito positivo.
Passo 6
Como em todos os caminhos testados até agora, a expressão tende ao infinito positivo, parece que o limite é infinito. No entanto, para ser rigoroso, precisamos confirmar se não há caminhos que levem a diferentes comportamentos.
Passo 7
Vamos tentar um caminho onde
se aproxima de
mais rapidamente que
, por exemplo,
. Substituindo
por
na função:
À medida que
se aproxima de
,
se aproxima de
, então:
Novamente, a expressão tende ao infinito positivo.
Passo 8
Em todos os caminhos testados, a expressão tende ao infinito positivo. Isso indica que o limite não existe de forma finita, mas sabemos que ele tende ao infinito.
Resposta
O limite tende ao infinito positivo, ou seja, não existe um limite finito para
.
Exercícios relacionados
Encontre
, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
e)
e)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
8.
8.
Seja
a porção da curva
entre
e
. Encontre
.
Calcule
, onde
é o trapezóide com vértices
e
, orientado no sentido anti-horário.