Determine todos os valores de
que satisfazem a desigualdade abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma desigualdade que envolve duas frações:
Vamos resolver essa desigualdade. Para isso, precisamos conhecer como resolver desigualdades racionais, que são desigualdades envolvendo frações com polinômios no numerador e no denominador. Precisaremos também saber sobre domínio de funções racionais e sinais de expressões algébricas.
Passo 2
Antes de resolver a desigualdade, vamos determinar o domínio das expressões. O denominador não pode ser zero, então:
Portanto, o domínio da desigualdade é todos os valores de
exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos resolver a desigualdade
. Para isso, vamos trazer todos os termos para um lado da desigualdade, subtraindo
de ambos os lados:
Passo 4
Para subtrair as frações, precisamos encontrar um denominador comum. O denominador comum será o produto dos denominadores individuais:
Reescrevendo a expressão com o denominador comum:
Passo 5
Agora, combinamos as frações:
Simplificamos o numerador:
Então, a desigualdade fica:
Passo 6
Para resolver a desigualdade
, vamos analisar os sinais do numerador e do denominador. Os pontos críticos são onde o numerador ou o denominador são iguais a zero:
Esses pontos dividem a linha dos números reais em intervalos. Vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo.
Passo 7
Os intervalos são:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e determinar o sinal da expressão
.
-
Intervalo 1:
- Escolha
:
- Escolha
-
Intervalo 2:
- Escolha
:
- Escolha
-
Intervalo 3:
- Escolha
:
- Escolha
-
Intervalo 4:
- Escolha
:
- Escolha
Passo 8
Agora, identificamos onde a expressão é menor que zero:
- Intervalo 1:
→ Sinal negativo - Intervalo 3:
→ Sinal negativo
Lembrando que
não pode ser igual a
e
, já que esses valores tornam o denominador zero.
Resposta
Os valores de
que satisfazem a desigualdade são:
Exercícios relacionados
Calcule
. onde
é segmento de linha de
a
.
Calcule
, onde
é o trapezóide com vértices
e
, orientado no sentido anti-horário.
Sejam
e
. Determine as funçöes compostas
e
e seus respectivos domínios.
Decida se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas: