Determine todos os valores de x que satisfazem a desigualdade abaixo:
1/(x+1) < 2/(3x-2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma desigualdade que envolve duas frações:
Vamos resolver essa desigualdade. Para isso, precisamos conhecer como resolver desigualdades racionais, que são desigualdades envolvendo frações com polinômios no numerador e no denominador. Precisaremos também saber sobre domínio de funções racionais e sinais de expressões algébricas.

Passo 2

Antes de resolver a desigualdade, vamos determinar o domínio das expressões. O denominador não pode ser zero, então:
Portanto, o domínio da desigualdade é todos os valores de exceto e .

Passo 3

Agora, vamos resolver a desigualdade . Para isso, vamos trazer todos os termos para um lado da desigualdade, subtraindo de ambos os lados:

Passo 4

Para subtrair as frações, precisamos encontrar um denominador comum. O denominador comum será o produto dos denominadores individuais:
Reescrevendo a expressão com o denominador comum:

Passo 5

Agora, combinamos as frações:
Simplificamos o numerador:
Então, a desigualdade fica:

Passo 6

Para resolver a desigualdade , vamos analisar os sinais do numerador e do denominador. Os pontos críticos são onde o numerador ou o denominador são iguais a zero:
Esses pontos dividem a linha dos números reais em intervalos. Vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo.

Passo 7

Os intervalos são:
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e determinar o sinal da expressão .
  • Intervalo 1:
    • Escolha :
  • Intervalo 2:
    • Escolha :
  • Intervalo 3:
    • Escolha :
  • Intervalo 4:
    • Escolha :

Passo 8

Agora, identificamos onde a expressão é menor que zero:
  • Intervalo 1: → Sinal negativo
  • Intervalo 3: → Sinal negativo
Lembrando que não pode ser igual a e , já que esses valores tornam o denominador zero.

Resposta

Os valores de que satisfazem a desigualdade são:

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