Considere o sistema não linear
Use o Teorema da Aplicação Implícita para mostrar que existem um aberto contendo 1 e um aberto contendo tais que, para cada , existe um único de maneira que satisfaça o sistema. Determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações não lineares com duas equações e três variáveis . O objetivo é usar o Teorema da Aplicação Implícita para mostrar que, perto de um ponto específico, podemos resolver esse sistema para e em termos de . Além disso, precisamos encontrar a matriz jacobiana da função que relaciona e com .
Para fazer isso, vamos precisar:
  • Conhecer o Teorema da Aplicação Implícita.
  • Calcular derivadas parciais para formar a matriz jacobiana.
  • Verificar se a condição do teorema é satisfeita (determinante diferente de zero).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de forma que possamos aplicar o Teorema da Aplicação Implícita. Vamos definir uma função da seguinte maneira:
Queremos resolver para e em função de .

Passo 3

Vamos escolher um ponto específico onde sabemos que o sistema é satisfeito. Observando as equações, podemos optar por . Vamos tentar encontrar valores de e que satisfaçam o sistema quando .
Substituindo na primeira equação:
E na segunda equação:
Vamos supor que . Substituindo na segunda equação:
Vamos escolher . Verificamos na primeira equação:
Portanto, o ponto satisfaz o sistema.

Passo 4

Agora, vamos verificar as condições do Teorema da Aplicação Implícita. Precisamos que a matriz das derivadas parciais de em relação a e , avaliada no ponto , seja invertível (ou seja, que seu determinante seja diferente de zero).
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Para a primeira equação :
Para a segunda equação :
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Então, a matriz Jacobiana no ponto é:

Passo 5

Vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar se ela é invertível:
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é invertível. Isso satisfaz a condição do Teorema da Aplicação Implícita, garantindo que existe um aberto contendo 1 e um aberto contendo tal que para cada , existe um único que satisfaz o sistema.

Passo 6

Agora, vamos determinar a matriz jacobiana , que representa as derivadas de e em relação a . Pelo Teorema da Aplicação Implícita, temos:
Onde são as derivadas de em relação a :
Para :
Para :
Avaliando no ponto :
Então, no ponto é:
Agora, a matriz inversa de é:
Multiplicando pela matriz :

Resposta

A matriz jacobiana é:

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