Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função
não for diferenciável.
Considere a função:
- Verifique que
não é diferenciável em
.
Considere a função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função
não é diferenciável no ponto
. Isso envolve entender o que significa uma função ser diferenciável e como a diferenciabilidade está relacionada às derivadas parciais. Vamos precisar usar conceitos de limites e derivadas parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição de diferenciabilidade. Uma função é diferenciável num ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Isso significa que as derivadas parciais existem e que a aproximação linear da função é muito boa perto desse ponto.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em
. A derivada parcial em relação a
é:
Como
(porque
), temos:
Da mesma forma, a derivada parcial em relação a
é:
Aqui,
(porque
), então:
Então, ambas as derivadas parciais existem e são iguais a zero.
Passo 4
Apesar das derivadas parciais existirem, isso não garante que a função seja diferenciável. Precisamos verificar se o limite que define a diferenciabilidade é zero:
Como
e as derivadas parciais são zero, fica:
Passo 5
Vamos analisar esse limite. Para
, temos:
Então:
Agora, vamos escolher uma trajetória específica para calcular o limite. Por exemplo, se escolhermos
, então:
Isso mostra que o limite depende da trajetória escolhida e não é igual a zero.
Resposta
Como o limite não é zero, a função
não é diferenciável em
.
Exercícios relacionados
Seja:
Calcule, se existir,
Calcule, se existir,
Calcule
se
é a hélice
acost,
sent,
.
Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função
não for diferenciável.
Considere a função:
Considere a função:
- Sejam
e , uma curva parametrizada. Mostre que é diferenciável.
Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função
não for diferenciável.
Considere a função:
Considere a função:
- Conclua mostrando que
.