Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função f não for diferenciável.
Considere a função:
f(x, y) = { xy^2 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0), 0, se (x, y) = (0, 0) }
  1. Verifique que f não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função não é diferenciável no ponto . Isso envolve entender o que significa uma função ser diferenciável e como a diferenciabilidade está relacionada às derivadas parciais. Vamos precisar usar conceitos de limites e derivadas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição de diferenciabilidade. Uma função é diferenciável num ponto se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Isso significa que as derivadas parciais existem e que a aproximação linear da função é muito boa perto desse ponto.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em . A derivada parcial em relação a é:
Como (porque ), temos:
Da mesma forma, a derivada parcial em relação a é:
Aqui, (porque ), então:
Então, ambas as derivadas parciais existem e são iguais a zero.

Passo 4

Apesar das derivadas parciais existirem, isso não garante que a função seja diferenciável. Precisamos verificar se o limite que define a diferenciabilidade é zero:
Como e as derivadas parciais são zero, fica:

Passo 5

Vamos analisar esse limite. Para , temos:
Então:
Agora, vamos escolher uma trajetória específica para calcular o limite. Por exemplo, se escolhermos , então:
Isso mostra que o limite depende da trajetória escolhida e não é igual a zero.

Resposta

Como o limite não é zero, a função não é diferenciável em .

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