Encontre os focos, os vertices e as equações das diretrizes das cônicas abaixo. Faca um esboco da curva correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os focos, vértices e as equações das diretrizes da cônica representada por
. Essa equação é de uma elipse, que é uma das cônicas. Para resolver, precisaremos rearranjar a equação para a forma padrão da elipse e identificar seus parâmetros principais.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da elipse. A forma padrão é:
Como nossa equação é
, precisamos dividir todos os termos por 45 para igualar a 1:
Passo 3
Agora, identificamos os valores de
e
. Aqui:
Como
, a elipse está alinhada no eixo x.
Passo 4
Para encontrar os vértices, usamos os valores de
e
. Os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo maior. Como o centro
aqui é (0,0), os vértices são:
Passo 5
Os focos da elipse estão localizados a uma distância
do centro, onde
é calculado por:
Então, os focos são:
Passo 6
As diretrizes da elipse são linhas perpendiculares ao eixo maior e estão a uma distância
do centro, onde:
Portanto, as equações das diretrizes são:
Resposta
Os vértices da elipse são
e
. Os focos estão em
e
. As equações das diretrizes são
e
. Além disso, a elipse está centrada na origem com eixo maior no eixo x. Para o esboço, desenhe uma elipse alongada horizontalmente com esses vértices e focos.
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Calcule
se C é o gráfico de
.