Encontre os focos, os vertices e as equações das diretrizes das cônicas abaixo. Faca um esboco da curva correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os focos, vértices e as equações das diretrizes da cônica representada por . Essa equação é de uma elipse, que é uma das cônicas. Para resolver, precisaremos rearranjar a equação para a forma padrão da elipse e identificar seus parâmetros principais.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da elipse. A forma padrão é:
Como nossa equação é , precisamos dividir todos os termos por 45 para igualar a 1:

Passo 3

Agora, identificamos os valores de e . Aqui:
Como , a elipse está alinhada no eixo x.

Passo 4

Para encontrar os vértices, usamos os valores de e . Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Como o centro aqui é (0,0), os vértices são:

Passo 5

Os focos da elipse estão localizados a uma distância do centro, onde é calculado por:
Então, os focos são:

Passo 6

As diretrizes da elipse são linhas perpendiculares ao eixo maior e estão a uma distância do centro, onde:
Portanto, as equações das diretrizes são:

Resposta

Os vértices da elipse são e . Os focos estão em e . As equações das diretrizes são e . Além disso, a elipse está centrada na origem com eixo maior no eixo x. Para o esboço, desenhe uma elipse alongada horizontalmente com esses vértices e focos.

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