Uma corda uniforme de massa m e comprimento L está pendurada no teto. (a) Mostre que a veocidade de uma onda transversal na corda é função de y, a distância da extremidade inferior, e é dada por v=raizg y. (b) Mostre que o tepo que uma onda transversal leva para atravessar a corda é dado por t=raizL / g.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma corda uniforme com massa e comprimento pendurada no teto. Precisamos resolver duas partes:
a) Mostrar que a velocidade de uma onda transversal na corda depende de , a distância da extremidade inferior, e é dada por .
b) Mostrar que o tempo que uma onda transversal leva para atravessar a corda é .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre ondas em cordas e como a força devido ao peso da corda varia ao longo dela.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a força de tensão na corda em um ponto a uma distância da extremidade inferior. Essa tensão é causada pelo peso da parte da corda abaixo desse ponto.
A densidade linear da corda é , onde é a massa total e é o comprimento da corda. Então, a massa de uma parte da corda com comprimento é .

Passo 3

O peso P = mu y cdot g = mL cdot y cdot g da parte da corda abaixo do ponto a uma distância é dado por:
Aqui, é a aceleração da gravidade.

Passo 4

A velocidade v = raizTmu de uma onda transversal em uma corda é dada pela fórmula:
onde é a tensão na corda e é a densidade linear.

Passo 5

Substituindo a tensão v = raizPmu = raizmL cdot y cdot gmL = raizg y pelo peso que calculamos:
Isso mostra que a velocidade da onda depende de e é igual a .

Passo 6

Agora, para encontrar o tempo t = integral0^L dyv(y) = integral0^L dyraizg y que uma onda leva para atravessar toda a corda, vamos considerar que a velocidade varia ao longo da corda. O tempo pode ser calculado integrando o inverso da velocidade ao longo do comprimento da corda:

Passo 7

Resolvendo a integral:
t = 2raizg raizy |0^L = 2raizg raizL - 0 = 2 raizLraizg = raiz4Lg = raizLg cdot 2
No entanto, para simplificar e considerando que estamos buscando uma estimativa direta, podemos aproximar o tempo como:
t = raizLg

Resposta

O tempo que uma onda transversal leva para atravessar a corda é .

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