Obtenha o campo elétrico Ed i p(r, theta) a partir do gradiente negativo de V :
Er & =-partial Vpartial r=2 p cos theta4 pi varepsilon0 r^3 Etheta & =-1r partial Vpartial theta=p sen theta4 pi varepsilon0 r^3 Ephi & =-1r sen theta partial Vpartial phi=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o campo elétrico de um dipolo elétrico, chamado , usando o gradiente negativo do potencial elétrico . Isso está dentro da matéria de Eletrostática, especificamente sobre dipolos elétricos e campos elétricos derivados de potenciais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o gradiente em coordenadas esféricas e aplicar as derivadas parciais do potencial fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E = -nabla V pode ser obtido a partir do potencial elétrico usando a relação:
Aqui, é o gradiente do potencial. Como estamos trabalhando em coordenadas esféricas ( ), precisamos calcular as componentes do gradiente nessa base.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, o gradiente de nabla V = partial Vpartial r er + 1r partial Vpartial theta etheta + 1r sin theta partial Vpartial phi ephi é dado por:
Er = -partial Vpartial r, Etheta = -1r partial Vpartial theta, Ephi = -1r sin theta partial Vpartial phi
Portanto, as componentes do campo elétrico serão:

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso ao potencial de um dipolo elétrico. O potencial V(r, theta) = p cos theta4 pi varepsilon0 r^2 de um dipolo é dado por:
onde é o momento dipolar, é a permissividade do vácuo, é a distância do dipolo, e é o ângulo polar.

Passo 5

Vamos calcular cada componente do campo elétrico começando por Er = -partial Vpartial r = -partialpartial r ( p cos theta4 pi varepsilon0 r^2 ) = 2 p cos theta4 pi varepsilon0 r^3 :
Aqui, derivamos em relação a , trazendo para baixo o expoente e reduzindo o poder de .

Passo 6

Agora, vamos para Etheta = -1r partial Vpartial theta = -1r partialpartial theta ( p cos theta4 pi varepsilon0 r^2 ) = p sin theta4 pi varepsilon0 r^3 :
Aqui, derivamos em relação a . A derivada de é , e o sinal negativo se cancela.

Passo 7

Por último, calculamos Ephi = -1r sin theta partial Vpartial phi :
partial Vpartial phi = 0 Rightarrow Ephi = 0
No caso do potencial de dipolo, não depende de , então:
Ou seja, não há componente do campo elétrico na direção .

Resposta

Assim, o campo elétrico do dipolo é dado por:
Edip(r, theta) = 2 p cos theta4 pi varepsilon0 r^3 er + p sin theta4 pi varepsilon0 r^3 etheta + 0 ephi

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