Obtenha o campo elétrico a partir do gradiente negativo de :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o campo elétrico de um dipolo elétrico, chamado , usando o gradiente negativo do potencial elétrico . Isso está dentro da matéria de Eletrostática, especificamente sobre dipolos elétricos e campos elétricos derivados de potenciais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o gradiente em coordenadas esféricas e aplicar as derivadas parciais do potencial fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico pode ser obtido a partir do potencial elétrico usando a relação:
Aqui, é o gradiente do potencial. Como estamos trabalhando em coordenadas esféricas ( ), precisamos calcular as componentes do gradiente nessa base.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, o gradiente de é dado por:
Portanto, as componentes do campo elétrico serão:

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso ao potencial de um dipolo elétrico. O potencial de um dipolo é dado por:
onde é o momento dipolar, é a permissividade do vácuo, é a distância do dipolo, e é o ângulo polar.

Passo 5

Vamos calcular cada componente do campo elétrico começando por :
Aqui, derivamos em relação a , trazendo para baixo o expoente e reduzindo o poder de .

Passo 6

Agora, vamos para :
Aqui, derivamos em relação a . A derivada de é , e o sinal negativo se cancela.

Passo 7

Por último, calculamos :
No caso do potencial de dipolo, não depende de , então:
Ou seja, não há componente do campo elétrico na direção .

Resposta

Assim, o campo elétrico do dipolo é dado por:

Exercícios relacionados

Uma corda uniforme de massa e comprimento L está pendurada no teto. (a) Mostre que a veocidade de uma onda transversal na corda é função de , a distância da extremidade inferior, e é dada por . (b) Mostre que o tepo que uma onda transversal leva para atravessar a corda é dado por .

a) Calcule onde é o segmento de reta de a .
Determine a energia de uma transição para para o átomo de hidrogênio (b) em (esta unidade é muito usada em espectroscopia na região do infravermelho por ser proporcional a energia);
Determine a energia de uma transição para para o átomo de hidrogênio © é uma transição visível? Qual a cor?