Calcule integralC y d x-x d y, onde C é a porção da parábola y=x^2 entre os pontos (3,9) e (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC y , dx - x , dy, onde C é a parte da parábola y = x^2 entre os pontos (3,9) e (0,0). Vamos usar cálculo integral e conceitos de parametrização de curvas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Como a parábola é dada por y = x^2, podemos usar x como parâmetro. Então, definimos:
x = t
y = t^2
onde t varia de 0 a 3, já que estamos indo de (0,0) a (3,9).

Passo 3

Agora, precisamos expressar dx e dy em termos de dt. Derivando x e y em relação a t, temos:
dx = dt
dy = 2t , dt

Passo 4

Substituímos tudo na integral original:
integralC y , dx - x , dy = integral0^3 (t^2) , dt - t cdot (2t , dt)
Isso simplifica para:
integral0^3 t^2 , dt - 2t^2 , dt = integral0^3 (t^2 - 2t^2) , dt = integral0^3 (-t^2) , dt

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
integral0^3 (-t^2) , dt = -integral0^3 t^2 , dt
A integral de t^2 é t^33, então:
-[ t^33 ]0^3 = -( 3^33 - 0^33 ) = -( 273 - 0 ) = -9

Resposta

O valor da integral é -9.

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