Calcule o volume do sólido S limitado pelo parabolóide
) e o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido
que está limitado pelo parabolóide
e pelo plano
. Isso envolve usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar o volume entre essas duas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar melhor o que estamos fazendo. O parabolóide
é uma superfície que abre para baixo e corta o plano
quando
, ou seja, quando
. Isso forma um círculo de raio 1 no plano
.
Para facilitar os cálculos, é bom usar coordenadas polares
, já que a região de integração é circular. Lembrando que em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
vira
.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral dupla para calcular o volume. O volume
pode ser expresso como:
Aqui,
representa a altura do sólido em cada ponto
, e
é o elemento de área em coordenadas polares.
Os limites de integração são:
-
varia de 0 a 1 (raio do círculo onde as duas superfícies se encontram). -
varia de 0 a (uma volta completa ao redor do círculo).
Então, a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido
é igual a
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
.
Expresse a integral
como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas, e calcule a integral obtida.
Calcule
, onde (a)
é o segmento de reta de
e (b)
é o arco de parábola
de
.