Calcule o volume do sólido S limitado pelo parabolóide ) e o plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume do sólido que está limitado pelo parabolóide e pelo plano . Isso envolve usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar o volume entre essas duas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar melhor o que estamos fazendo. O parabolóide é uma superfície que abre para baixo e corta o plano quando , ou seja, quando . Isso forma um círculo de raio 1 no plano .
Para facilitar os cálculos, é bom usar coordenadas polares , já que a região de integração é circular. Lembrando que em coordenadas polares, e , e o elemento de área vira .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla para calcular o volume. O volume pode ser expresso como:
Aqui, representa a altura do sólido em cada ponto , e é o elemento de área em coordenadas polares.
Os limites de integração são:
  • varia de 0 a 1 (raio do círculo onde as duas superfícies se encontram).
  • varia de 0 a (uma volta completa ao redor do círculo).
Então, a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é igual a unidades cúbicas.

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Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
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Expresse a integral como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas, e calcule a integral obtida.
Calcule , onde (a) é o segmento de reta de e (b) é o arco de parábola de .