2*x + y + 3*z = 6 é a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto (1, 1, 1). Determine a equação da reta normal no ponto 1,1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto é . Nosso objetivo é encontrar a equação da reta normal nesse ponto .
Conteúdo envolvido:
  • Plano Tangente: Uma superfície que toca o gráfico de uma função em um ponto específico e tem a mesma inclinação naquele ponto.
  • Reta Normal: Uma reta que é perpendicular ao plano tangente no ponto de tangência.
Para resolver isso, vamos precisar identificar o vetor normal ao plano tangente e usá-lo para definir a reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano tangente. A equação do plano é dada por . A forma geral de um plano é , onde é o vetor normal.
Aplicando isso ao nosso plano:
Então, o vetor normal é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a equação da reta normal que passa pelo ponto . Note que o ponto dado no enunciado é , mas para a reta normal no plano , vamos considerar .
A equação paramétrica de uma reta é dada por:
onde é um ponto na reta e é o vetor diretor.

Passo 4

O vetor diretor da reta normal é o vetor normal ao plano, que já encontramos: . E o ponto pela qual a reta passa é .
Então, substituindo na equação paramétrica:

Passo 5

Se quisermos expressar a equação da reta normal de forma vetorial, podemos escrever:
onde é um parâmetro real.

Resposta

A equação da reta normal no ponto é dada por:
ou, de forma vetorial:

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