é a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto . Determine a equação da reta normal no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto é . Nosso objetivo é encontrar a equação da reta normal nesse ponto .
Conteúdo envolvido:
Plano Tangente: Uma superfície que toca o gráfico de uma função em um ponto específico e tem a mesma inclinação naquele ponto.
Reta Normal: Uma reta que é perpendicular ao plano tangente no ponto de tangência.
Para resolver isso, vamos precisar identificar o vetor normal ao plano tangente e usá-lo para definir a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano tangente. A equação do plano é dada por . A forma geral de um plano é , onde é o vetor normal.
Aplicando isso ao nosso plano:
Então, o vetor normal é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a equação da reta normal que passa pelo ponto . Note que o ponto dado no enunciado é , mas para a reta normal no plano , vamos considerar .
A equação paramétrica de uma reta é dada por:
onde é um ponto na reta e é o vetor diretor.
Passo 4
O vetor diretor da reta normal é o vetor normal ao plano, que já encontramos: . E o ponto pela qual a reta passa é .
Então, substituindo na equação paramétrica:
Passo 5
Se quisermos expressar a equação da reta normal de forma vetorial, podemos escrever: