Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto: f(z) = sen(z) / (z + i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar qual regra de derivação usar para a função , descobrir onde essa função é derivável e escolher um ponto legal para calcular a derivada. Vamos precisar saber sobre a regra do quociente e entender o domínio da função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual regra de derivação aplicar. A função é um quociente de duas funções: no numerador e no denominador. Quando temos uma divisão de funções, usamos a Regra do Quociente para derivar. A regra do quociente diz que se , então a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais a função é definida e derivável. A função está definida sempre que o denominador não for zero. Então, resolvendo :
Portanto, o domínio de é todos os números complexos exceto .

Passo 4

Vamos escolher um ponto adequado para calcular a derivada. Um ponto simples e que está dentro do domínio é . É fácil de calcular e evita complicações com números complexos.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de no ponto usando a Regra do Quociente.
Primeiro, identifiquemos e .
Calculamos as derivadas:
Aplicando a Regra do Quociente:
Agora, substituímos :
Sabemos que e , então:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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