Calcule todas as soluções que satisfazem a expressão abaixo: sen(z) = i

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é um exercício onde precisamos encontrar todos os números complexos que satisfazem a equação . Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas no campo dos números complexos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para números complexos, podemos escrever como , onde e são números reais. A função seno para um número complexo pode ser expressa da seguinte forma:
Aqui, e são as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente.

Passo 3

Agora, igualamos essa expressão a :
Para que as partes reais e imaginárias sejam iguais, temos que:
á

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação . Sabemos que nunca é zero para qualquer número real , então necessariamente:
Isso acontece quando , onde é qualquer número inteiro.

Passo 5

Agora, substituímos na segunda equação:
Sabemos que , então temos:
Isso implica que:

Passo 6

A função é definida como:
Queremos resolver para na equação .
Isolando :
Sabemos que , mas como alterna entre 1 e -1 dependendo de , podemos escrever a solução geral.

Passo 7

Portanto, combinando tudo, as soluções para são:
é
Podemos simplificar para:

Passo 8

Finalmente, a forma mais elegante para expressar todas as soluções é:
é

Resposta

Todas as soluções da equação são dadas por:

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