Calcule todas as soluções que satisfazem a expressão abaixo:
Passo 1
Beleza, então o que temos aqui é um exercício onde precisamos encontrar todos os números complexos
que satisfazem a equação
. Vamos usar conhecimentos de funções trigonométricas no campo dos números complexos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para números complexos, podemos escrever
como
, onde
e
são números reais. A função seno para um número complexo pode ser expressa da seguinte forma:
Aqui,
e
são as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico, respectivamente.
Passo 3
Agora, igualamos essa expressão a
:
Para que as partes reais e imaginárias sejam iguais, temos que:
Passo 4
Vamos resolver a primeira equação
. Sabemos que
nunca é zero para qualquer número real
, então necessariamente:
Isso acontece quando
, onde
é qualquer número inteiro.
Passo 5
Agora, substituímos
na segunda equação:
Sabemos que
, então temos:
Isso implica que:
Passo 6
A função
é definida como:
Queremos resolver para
na equação
.
Isolando
:
Sabemos que
, mas como
alterna entre 1 e -1 dependendo de
, podemos escrever a solução geral.
Passo 7
Portanto, combinando tudo, as soluções para
são:
Podemos simplificar
para:
Passo 8
Finalmente, a forma mais elegante para expressar todas as soluções é:
Resposta
Todas as soluções da equação
são dadas por:
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Calcule o valor principal na forma
:
Identifique a regra de derivação da função, bem como o domínio em que a função é derivável. Escolha um ponto adequado para calcular o valor da derivada no ponto:
Calcule
, onde
é a hélice circular dada pelas equações
,
.