Calcule
, onde
é a curva definida por
,
, orientada no sentido decrescente de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde a curva
é definida por
no intervalo
e está orientada no sentido decrescente de
. Vamos usar conceitos de cálculo integral de caminhos e um pouco de geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. A equação
representa uma parábola que abre para a direita, deslocada 2 unidades para a esquerda no eixo x. O intervalo
nos dá os limites para
, então vamos parametrizar essa curva nesse intervalo.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva
usando
como parâmetro. Como
, podemos resolver para
:
Como a orientação é no sentido decrescente de
, vamos considerar a parte em que
é negativo:
Então, a parametrização fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Substituímos
e
na integral original e também
e
pelas derivadas que encontramos:
Passo 6
Simplificamos as expressões dentro da integral:
Passo 7
Observamos que o denominador
é sempre positivo e podemos simplificar ainda mais a expressão. No entanto, para simplificar a resolução, podemos notar que a integral de uma forma diferencial exata ao longo de uma curva fechada é igual a zero, mas nossa curva não é fechada. Então, continuamos com a integração direta.
Passo 8
Para facilitar a integração, fazemos uma substituição
, simplificando a expressão quadrática no denominador. No entanto, após realizar a substituição e simplificações necessárias, encontramos que a integral resulta em uma expressão simétrica que, ao ser avaliada de
a
, cancela-se.
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Determine o campo vetorial gradiente de
.
.
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Determine se
é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
.
Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
.