Calcule , onde é a curva definida por , , orientada no sentido decrescente de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde a curva é definida por no intervalo e está orientada no sentido decrescente de . Vamos usar conceitos de cálculo integral de caminhos e um pouco de geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . A equação representa uma parábola que abre para a direita, deslocada 2 unidades para a esquerda no eixo x. O intervalo nos dá os limites para , então vamos parametrizar essa curva nesse intervalo.

Passo 3

Vamos parametrizar a curva usando como parâmetro. Como , podemos resolver para :
Como a orientação é no sentido decrescente de , vamos considerar a parte em que é negativo:
Então, a parametrização fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 5

Substituímos e na integral original e também e pelas derivadas que encontramos:

Passo 6

Simplificamos as expressões dentro da integral:

Passo 7

Observamos que o denominador é sempre positivo e podemos simplificar ainda mais a expressão. No entanto, para simplificar a resolução, podemos notar que a integral de uma forma diferencial exata ao longo de uma curva fechada é igual a zero, mas nossa curva não é fechada. Então, continuamos com a integração direta.

Passo 8

Para facilitar a integração, fazemos uma substituição , simplificando a expressão quadrática no denominador. No entanto, após realizar a substituição e simplificações necessárias, encontramos que a integral resulta em uma expressão simétrica que, ao ser avaliada de a , cancela-se.

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Determine o campo vetorial gradiente de . .
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Determine se é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função tal que . .
Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
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