Determine se
é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Um campo conservativo é aquele que pode ser escrito como o gradiente de alguma função
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender sobre campos conservativos e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um campo vetorial
ser conservativo, ele precisa satisfazer uma condição importante envolvendo as derivadas parciais de
e
. Especificamente,
. Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo.
Passo 3
Calcular
. Sabendo que
, derivando em relação a
temos:
Passo 4
Agora, calcular
. Com
, derivando em relação a
temos:
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
Como
, o campo
não satisfaz a condição para ser conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a curva definida por
,
, orientada no sentido decrescente de
.
Determine o campo vetorial gradiente de
.
.
Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
.
Determine o limite, se existir, ou veñitique que o limite nos existe.