Determine se F é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f. F(x, y) = y * e^y * i + (e^x + e^y) * j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o campo vetorial é conservativo. Um campo conservativo é aquele que pode ser escrito como o gradiente de alguma função f, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender sobre campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um campo vetorial ser conservativo, ele precisa satisfazer uma condição importante envolvendo as derivadas parciais de P e Q. Especificamente, . Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo.

Passo 3

Calcular . Sabendo que , derivando em relação a y temos:

Passo 4

Agora, calcular . Com , derivando em relação a x temos:

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Como , o campo F não satisfaz a condição para ser conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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