Determine se é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função tal que . .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o campo vetorial é conservativo. Um campo conservativo é aquele que pode ser escrito como o gradiente de alguma função , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender sobre campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um campo vetorial ser conservativo, ele precisa satisfazer uma condição importante envolvendo as derivadas parciais de e . Especificamente, . Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo.

Passo 3

Calcular . Sabendo que , derivando em relação a temos:

Passo 4

Agora, calcular . Com , derivando em relação a temos:

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Como , o campo não satisfaz a condição para ser conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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Calcule , onde é a curva definida por , , orientada no sentido decrescente de .
Determine o campo vetorial gradiente de . .
Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
.
Determine o limite, se existir, ou veñitique que o limite nos existe.