Determine o campo vetorial gradiente de . .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o campo vetorial gradiente da função . Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao conceito de gradiente, que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cuja magnitude representa a taxa de variação máxima. Matematicamente, o gradiente é dado por:
Ou seja, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Como e são tratados como constantes em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto. Derivando e em relação a :

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, e são constantes, e derivamos em relação a :

Resposta

Portanto, o campo vetorial gradiente de é:

Exercícios relacionados

Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Calcule , onde é a curva definida por , , orientada no sentido decrescente de .
Determine se é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função tal que . .