Determine o campo vetorial gradiente de
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos o campo vetorial gradiente da função
. Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao conceito de gradiente, que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar
é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cuja magnitude representa a taxa de variação máxima. Matematicamente, o gradiente é dado por:
Ou seja, precisamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Como
e
são tratados como constantes em relação a
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto. Derivando
e
em relação a
:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui,
e
são constantes, e derivamos
em relação a
:
Resposta
Portanto, o campo vetorial gradiente de
é:
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Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Calcule
, onde
é a curva definida por
,
, orientada no sentido decrescente de
.
Determine se
é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
.