Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
integral0^infty 1x^2-x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a integral converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e técnicas de integração envolvendo funções racionais. Vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar fórmulas de integrais conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: . Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado. Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que reconhecemos facilmente a integral.

Passo 3

Completando o quadrado para x^2 - x + 1 = (x - 12)^2 + 34 :
(x - 12)^2 = x^2 - x + 14
Isso porque:
x^2 - x + 1 = (x - 12)^2 + 34
Então, adicionando , temos:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral:
integral0^infty 1(x - 12)^2 + 34 , dx
Essa expressão se parece com a forma padrão da integral que envolve a função arco-tangente, cujo resultado sabemos.

Passo 5

Lembrando da fórmula de integração:
integral 1(x - a)^2 + b^2 , dx = 1b arctan(x - ab) + C
Aqui, comparando com nossa integral:
  • , então

Passo 6

Aplicando a fórmula:
integral 1(x - 12)^2 + (raiz32)^2 , dx = 2raiz3 arctan(2(x - 12)raiz3) + C
Agora, vamos avaliar os limites de integração de a .

Passo 7

Primeiro, calculamos o limite quando limx to infty 2(x - 12)raiz3 = infty :
2(0 - 12)raiz3 = -1raiz3
E sabemos que .
Agora, para :
E .

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão da integral:
2raiz3 [ pi2 - (-pi6) ] = 2raiz3 ( pi2 + pi6 ) = 2raiz3 cdot 2pi3 = 4pi3raiz3

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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