Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a integral
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e técnicas de integração envolvendo funções racionais. Vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar fórmulas de integrais conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração:
. Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado. Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que reconhecemos facilmente a integral.
Passo 3
Completando o quadrado para
:
Isso porque:
Então, adicionando
, temos:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na integral:
Essa expressão se parece com a forma padrão da integral que envolve a função arco-tangente, cujo resultado sabemos.
Passo 5
Lembrando da fórmula de integração:
Aqui, comparando com nossa integral:
-
-
, então
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Agora, vamos avaliar os limites de integração de
a
.
Passo 7
Primeiro, calculamos o limite quando
:
E sabemos que
.
Agora, para
:
E
.
Passo 8
Substituindo esses valores na expressão da integral:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.
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Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
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Determine o campo vetorial gradiente de
.
.
Calcule
, onde
é a curva definida por
,
, orientada no sentido decrescente de
.