Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a integral converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e técnicas de integração envolvendo funções racionais. Vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar fórmulas de integrais conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: . Para facilitar a integração, vamos completar o quadrado. Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que reconhecemos facilmente a integral.

Passo 3

Completando o quadrado para :
Isso porque:
Então, adicionando , temos:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral:
Essa expressão se parece com a forma padrão da integral que envolve a função arco-tangente, cujo resultado sabemos.

Passo 5

Lembrando da fórmula de integração:
Aqui, comparando com nossa integral:
  • , então

Passo 6

Aplicando a fórmula:
Agora, vamos avaliar os limites de integração de a .

Passo 7

Primeiro, calculamos o limite quando :
E sabemos que .
Agora, para :
E .

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão da integral:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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Determine o campo vetorial gradiente de . .
Calcule , onde é a curva definida por , , orientada no sentido decrescente de .