integralC(x^2-y^2) d s, C: x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral onde é a circunferência definida por . Aqui, estamos lidando com integração ao longo de uma curva, especificamente uma circunferência. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a circunferência e como calcular o diferencial de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a circunferência x = 2costheta . Sabemos que uma circunferência de raio y = 2sintheta pode ser parametrizada usando funções trigonométricas. Aqui, o raio é 2, já que .
Então, podemos escrever:
onde varia de a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco ds = raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta . Sabemos que:
dxdtheta = -2sintheta
Calculando as derivadas:
dydtheta = 2costheta
ds = raiz(-2sintheta)^2 + (2costheta)^2 , dtheta = raiz4sin^2theta + 4cos^2theta , dtheta = raiz4(sin^2theta + cos^2theta) , dtheta = raiz4 cdot 1 , dtheta = 2 , dtheta
Então:

Passo 4

Agora, vamos substituir integralC (x^2 - y^2) , ds = integral0^2pi ( (2costheta)^2 - (2sintheta)^2 ) cdot 2 , dtheta , = integral0^2pi (4cos^2theta - 4sin^2theta) cdot 2 , dtheta = 2 integral0^2pi 4(cos^2theta - sin^2theta) , dtheta = 8 integral0^2pi (cos^2theta - sin^2theta) , dtheta e na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Reconhecemos que 8 integral0^2pi cos(2theta) , dtheta . Então a integral fica:
8 [ sin(2theta)2 ]0^2pi = 4 [ sin(4pi) - sin(0) ] = 4 (0 - 0) = 0
Integrando:

Resposta

O valor da integral é .

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