integralC(x^2+y^2) d s, x=2 cos (t), y=2 sen(t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Vamos entender o enunciado: precisamos calcular a integral de linha , onde a curva é parametrizada por e , com variando de a . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 dt em termos de . Sabemos que:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas:
dxdt = -2 sen(t)

Passo 4

Substituindo as derivadas na expressão de ds = raiz(-2 sen(t))^2 + (2 cos(t))^2 dt = raiz4 sen^2(t) + 4 cos^2(t) dt :
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos integralC (x^2 + y^2) ds = integral0^2pi [ (2 cos(t))^2 + (2 sen(t))^2 ] times 2 dt , e na integral original:

Passo 6

Calculando (2 cos(t))^2 + (2 sen(t))^2 = 4 cos^2(t) + 4 sen^2(t) = 4 (cos^2(t) + sen^2(t)) = 4 times 1 = 4 :

Passo 7

Substituindo na integral:
integral0^2pi 4 times 2 dt = 8 integral0^2pi dt = 8 [t]0^2pi = 8 (2pi - 0) = 16pi

Resposta

A integral vale .

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