Calcule integralC z x d x+x y d y-z x d z onde C é o segmento de reta que liga o ponto (0,0,0) ao ponto (2,3,4).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que liga o ponto ao ponto .
Aqui, estamos lidando com integrais de linha, que são usadas para somar quantidades ao longo de um caminho específico no espaço. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o segmento de reta , ou seja, escrever as coordenadas , e em função de um parâmetro que varia de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta x(t) = 0 + 2t = 2t y(t) = 0 + 3t = 3t z(t) = 0 + 4t = 4t . Como vai de a , podemos expressar as coordenadas como funções de da seguinte forma:
Aqui, varia de 0 a 1. Quando , estamos no ponto inicial , e quando , chegamos no ponto final .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de dx/dt = 2 dy/dt = 3 dz/dt = 4 , e em relação a , que são , e :
Essas derivadas representam as taxas de variação de , e ao longo do caminho .

Passo 4

Substituímos as funções parametrizadas e suas derivadas na integral original. A integral de linha pode ser reescrita em termos de integralC z x , dx + x y , dy - z x , dz = integral0^1 [z(t) x(t) cdot dx/dt + x(t) y(t) cdot dy/dt - z(t) x(t) cdot dz/dt] , dt :
= integral0^1 [ (4t)(2t) cdot 2 + (2t)(3t) cdot 3 - (4t)(2t) cdot 4 ] , dt
Substituindo as expressões que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
= integral0^1 [ 8t^2 + 18t^2 - 32t^2 ] , dt
= integral0^1 (-6t^2) , dt

Passo 6

Agora, calculamos a integral:
integral0^1 (-6t^2) , dt = -6 integral0^1 t^2 , dt = -6 [ t^33 ]0^1 = -6 ( 13 - 0 ) = -6 cdot 13 = -2

Resposta

O valor da integral é .

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