Calcule onde é o segmento de reta que liga o ponto ao ponto .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que liga o ponto ao ponto .
Aqui, estamos lidando com integrais de linha, que são usadas para somar quantidades ao longo de um caminho específico no espaço. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o segmento de reta , ou seja, escrever as coordenadas , e em função de um parâmetro que varia de 0 a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta . Como vai de a , podemos expressar as coordenadas como funções de da seguinte forma:
Aqui, varia de 0 a 1. Quando , estamos no ponto inicial , e quando , chegamos no ponto final .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de dx/dt = 2 dy/dt = 3 dz/dt = 4 , e em relação a , que são , e :
Essas derivadas representam as taxas de variação de , e ao longo do caminho .
Passo 4
Substituímos as funções parametrizadas e suas derivadas na integral original. A integral de linha pode ser reescrita em termos de integralC z x , dx + x y , dy - z x , dz = integral0^1 [z(t) x(t) cdot dx/dt + x(t) y(t) cdot dy/dt - z(t) x(t) cdot dz/dt] , dt :