9.1-1 Obtenha a série de Fourier em tempo discreto
(SFTD) e trace seu espectro
e
para
para o seguinte sinal periódico:
(SFTD) e trace seu espectro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para obter a Série de Fourier em Tempo Discreto (SFTD) do sinal periódico e traçar o espectro
e a fase
para
. Para isso, vamos precisar entender o que é a SFTD, como calcular seus coeficientes e como representar o espectro de magnitude e fase. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar o período
do sinal
. Isso significa encontrar o menor valor inteiro de
tal que
para todo
.
Observando as frequências das componentes do sinal:
- Para
, a frequência é . - Para , a frequência é
.
Para que o sinal seja periódico, as frequências devem ser múltiplos de
. Simplificando:
-
→ frequência -
→ frequência
O menor
que satisfaz
e
sendo inteiros é
. Então, nosso período é 5 amostras.
Passo 3
Agora, vamos calcular os valores de
para um período completo
. Vamos calcular para
:
Então, temos:
Passo 4
Com os valores de
determinados, vamos calcular os coeficientes da Série de Fourier em Tempo Discreto (
) utilizando a fórmula:
Onde
é a unidade imaginária e
.
Vamos calcular cada
:
Vamos lembrar que a soma de
para
a
resulta em zero para
e em 5 para
.
Portanto:
- Para
:
- Para
:
Então, os coeficientes são:
Passo 5
Agora, vamos traçar o espectro
e a fase
para
.
-
Magnitude
: -
-
Fase
: -
radianos (já que é um valor real positivo) -
radianos -
radianos -
radianos -
radianos
-
Como todos os coeficientes, exceto
, são zero, o espectro terá um pico único em
com magnitude 4 e fase 0, e os outros pontos serão zero.
Resposta
A Série de Fourier em Tempo Discreto do sinal é:
O espectro de magnitude
apresenta um único pico em
com magnitude 4, e a fase
é zero para todos os valores de
.
Exercícios relacionados
8.1-2 Determine a taxa de amostragem de Nyquist e o intervalo de amostragem de Nyquist para os sinais
(a)
(b)
©
(d)
Figura P8.1-1
(a)
(b)
©
(d)
Figura P8.1-1
Calcule
onde
é o segmento de reta que liga o ponto
ao ponto
.
9.2-3 Para os seguintes sinais, obtenha a TFTD diretamente, utilizando a definição da Eq. (9.30). Assuma
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Converta os seguintes números binários para sua forma decimal: