9.1-1 Obtenha a série de Fourier em tempo discreto
(SFTD) e trace seu espectro |D_r| e angulo D_r para 0 <= r <= N0 - 1 para o seguinte sinal periódico:
x[n] = 4 cos(2.4 pi n) + 2 sen(3.2 pi n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para obter a Série de Fourier em Tempo Discreto (SFTD) do sinal periódico e traçar o espectro e a fase para . Para isso, vamos precisar entender o que é a SFTD, como calcular seus coeficientes e como representar o espectro de magnitude e fase. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o período do sinal . Isso significa encontrar o menor valor inteiro de tal que para todo .
Observando as frequências das componentes do sinal:
  • Para , a frequência é .
  • Para , a frequência é .
Para que o sinal seja periódico, as frequências devem ser múltiplos de . Simplificando:
  • → frequência
  • → frequência
O menor que satisfaz e sendo inteiros é . Então, nosso período é 5 amostras.

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores de para um período completo . Vamos calcular para :
Então, temos:

Passo 4

Com os valores de determinados, vamos calcular os coeficientes da Série de Fourier em Tempo Discreto ( ) utilizando a fórmula:
Onde é a unidade imaginária e .
Vamos calcular cada :
Vamos lembrar que a soma de para a resulta em zero para e em 5 para .
Portanto:
  • Para :
  • Para :
Então, os coeficientes são:

Passo 5

Agora, vamos traçar o espectro e a fase para .
  • Magnitude :
  • Fase :
    • radianos (já que é um valor real positivo)
    • radianos
    • radianos
    • radianos
    • radianos
Como todos os coeficientes, exceto , são zero, o espectro terá um pico único em com magnitude 4 e fase 0, e os outros pontos serão zero.

Resposta

A Série de Fourier em Tempo Discreto do sinal é:
O espectro de magnitude apresenta um único pico em com magnitude 4, e a fase é zero para todos os valores de .

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