Calcule quando:
(a) pontos a curva é o semicírculo , onde varia de 0 a .
(b) pontos] a curva é o semicírculo , onde varia de 0 a .
© pontos] a curva é o círculo , onde varia de a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral para diferentes curvas . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais no plano complexo, especialmente integrais de funções racionais. Vamos precisar usar propriedades das integrais de funções analíticas e entender como parametrizar as curvas dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
Então, a integral fica:
Agora, vamos calcular cada parte separadamente para cada item (a), (b) e ©.

Passo 3

Parte (a): A curva é o semicírculo , onde varia de a .
Primeiro, vamos calcular . Como é a derivada de em relação a , mas uma forma mais simples é lembrar que .
Para de a :
Então,

Passo 4

Ainda na parte (a), vamos calcular .
A integral de ao longo de uma curva que vai de a no semicírculo superior é igual a:
Então,

Passo 5

Somando as duas partes para a parte (a):

Passo 6

Parte (b): A curva é o semicírculo , onde varia de a .
Vamos seguir o mesmo raciocínio da parte (a).
Primeiro, :
Então,

Passo 7

Agora, .
A integral de ao longo do semicírculo inferior de a é igual a .
Então,

Passo 8

Somando as duas partes para a parte (b):

Passo 9

Parte ©: A curva é o círculo completo , onde varia de a .
Primeiro, :
Como é um círculo completo, o ponto inicial e final é o mesmo, então:

Passo 10

Agora, .
Para um círculo completo que envolve a origem, a integral de é :
Então,

Resposta

(a)
(b)
©

Exercícios relacionados

Determine os zeros, e as respectivas ordem, da funções: . pontos
Calcule , onde é o losango de vértices . pontos
Nos problemas de 1 à 4 , encontre a soluqão geral do EDO:
Nos problemas de 1 à 4 , encontre a soluqão geral do EDO: