Calcule
quando:
(a)
pontos
a curva
é o semicírculo
, onde
varia de 0 a
.
(b)
pontos] a curva
é o semicírculo
, onde
varia de 0 a
.
©
pontos] a curva
é o círculo
, onde
varia de
a
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
para diferentes curvas
. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais no plano complexo, especialmente integrais de funções racionais. Vamos precisar usar propriedades das integrais de funções analíticas e entender como parametrizar as curvas dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
Então, a integral fica:
Agora, vamos calcular cada parte separadamente para cada item (a), (b) e ©.
Passo 3
Parte (a): A curva
é o semicírculo
, onde
varia de
a
.
Primeiro, vamos calcular
. Como
é a derivada de
em relação a
, mas uma forma mais simples é lembrar que
.
Para
de
a
:
Então,
Passo 4
Ainda na parte (a), vamos calcular
.
A integral de
ao longo de uma curva que vai de
a
no semicírculo superior é igual a:
Então,
Passo 5
Somando as duas partes para a parte (a):
Passo 6
Parte (b): A curva
é o semicírculo
, onde
varia de
a
.
Vamos seguir o mesmo raciocínio da parte (a).
Primeiro,
:
Então,
Passo 7
Agora,
.
A integral de
ao longo do semicírculo inferior de
a
é igual a
.
Então,
Passo 8
Somando as duas partes para a parte (b):
Passo 9
Parte ©: A curva
é o círculo completo
, onde
varia de
a
.
Primeiro,
:
Como é um círculo completo, o ponto inicial e final é o mesmo, então:
Passo 10
Agora,
.
Para um círculo completo que envolve a origem, a integral de
é
:
Então,
Resposta
(a)
(b)
©
Exercícios relacionados
Determine os zeros, e as respectivas ordem, da funções:
.
pontos
Calcule
, onde
é o losango de vértices
.
pontos
Nos problemas de 1 à 4 , encontre a soluqão geral do EDO:
Nos problemas de 1 à 4 , encontre a soluqão geral do EDO: