Calcule integralC z+2z d z quando:
(a) [0.5 pontos ] a curva C é o semicírculo z=e^i theta, onde theta varia de 0 a pi.
(b) [0.5 pontos] a curva C é o semicírculo z=e^i theta, onde theta varia de 0 a -pi.
© [0.5 pontos] a curva C é o círculo z=2 e^i theta, onde theta varia de -pi a pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral para diferentes curvas . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais no plano complexo, especialmente integrais de funções racionais. Vamos precisar usar propriedades das integrais de funções analíticas e entender como parametrizar as curvas dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
z + 2z = 1 + 2z
Então, a integral fica:
integralC (1 + 2z) dz = integralC dz + 2 integralC 1z dz
Agora, vamos calcular cada parte separadamente para cada item (a), (b) e ©.

Passo 3

Parte (a): A curva zinicial = e^i cdot 0 = 1 é o semicírculo zfinal = e^i cdot pi = -1 , onde integralC dz = -1 - 1 = -2 varia de a .
Primeiro, vamos calcular . Como é a derivada de em relação a , mas uma forma mais simples é lembrar que .
Para de a :
Então,

Passo 4

Ainda na parte (a), vamos calcular integralC 1z dz = ipi .
A integral de 2 integralC 1z dz = 2ipi ao longo de uma curva que vai de a no semicírculo superior é igual a:
Então,

Passo 5

Somando as duas partes para a parte (a):
integralC (1 + 2z) dz = -2 + 2ipi

Passo 6

Parte (b): A curva zinicial = e^i cdot 0 = 1 é o semicírculo zfinal = e^-i cdot pi = -1 , onde integralC dz = -1 - 1 = -2 varia de a .
Vamos seguir o mesmo raciocínio da parte (a).
Primeiro, :
Então,

Passo 7

Agora, 2 integralC 1z dz = -2ipi .
A integral de ao longo do semicírculo inferior de a é igual a .
Então,

Passo 8

Somando as duas partes para a parte (b):
integralC (1 + 2z) dz = -2 - 2ipi

Passo 9

Parte ©: A curva integralC dz = 0 é o círculo completo , onde varia de a .
Primeiro, :
Como é um círculo completo, o ponto inicial e final é o mesmo, então:

Passo 10

Agora, integralC 1z dz = 2ipi .
Para um círculo completo que envolve a origem, a integral de 2 integralC 1z dz = 4ipi é :
Então,

Resposta

(a)
(b)
©

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