Determine os zeros, e as respectivas ordem, da funções: (cos(z) - 1) * log(1 + z). 0.5 pontos ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os zeros da função e determinar a ordem de cada zero. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e logaritmos complexos. Precisaremos identificar onde cada parte da função se anula e analisar a multiplicidade de cada zero encontrado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar um zero de uma função. Um zero de uma função é um valor de que faz a função igual a zero. No nosso caso, queremos resolver:
Isso acontece quando um dos fatores é igual a zero. Ou seja, quando:
Vamos resolver cada equação separadamente.

Passo 3

Resolvendo :
Sabemos que o cosseno de é igual a 1 nos pontos onde é um múltiplo inteiro de . Portanto:
Isso nos dá zeros em

Passo 4

Resolvendo :
Então, temos que também é um zero da função.

Passo 5

Agora, vamos determinar a ordem de cada zero encontrado.
  • Para :
Aqui, tanto quanto são iguais a zero. Isso indica que temos um zero de ordem maior nesse ponto. Para encontrar a ordem, vamos expandir cada parte em séries de Taylor perto de :
Multiplicando as aproximações:
Isso mostra que o zero em é de ordem 3.
  • Para onde :
Nesses pontos, apenas , enquanto . Além disso, a derivada de em não anula, indicando que o zero é simples, ou seja, de ordem 1.

Resposta

A função possui zeros nos seguintes pontos:
  • com ordem 3
  • para todo inteiro , cada um com ordem 1

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