Determine os zeros, e as respectivas ordem, da funções:
.
pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os zeros da função
e determinar a ordem de cada zero. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e logaritmos complexos. Precisaremos identificar onde cada parte da função se anula e analisar a multiplicidade de cada zero encontrado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar um zero de uma função. Um zero de uma função é um valor de
que faz a função igual a zero. No nosso caso, queremos resolver:
Isso acontece quando um dos fatores é igual a zero. Ou seja, quando:
Vamos resolver cada equação separadamente.
Passo 3
Resolvendo
:
Sabemos que o cosseno de
é igual a 1 nos pontos onde
é um múltiplo inteiro de
. Portanto:
Isso nos dá zeros em
Passo 4
Resolvendo
:
Então, temos que
também é um zero da função.
Passo 5
Agora, vamos determinar a ordem de cada zero encontrado.
- Para
:
Aqui, tanto
quanto
são iguais a zero. Isso indica que temos um zero de ordem maior nesse ponto. Para encontrar a ordem, vamos expandir cada parte em séries de Taylor perto de
:
Multiplicando as aproximações:
Isso mostra que o zero em
é de ordem 3.
- Para
onde :
Nesses pontos, apenas
, enquanto
. Além disso, a derivada de
em
não anula, indicando que o zero é simples, ou seja, de ordem 1.
Resposta
A função
possui zeros nos seguintes pontos:
-
com ordem 3 -
para todo inteiro , cada um com ordem 1
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, onde
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.
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, onde
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.
(b) pontos] a curva
é o semicírculo
, onde
varia de 0 a
.
© pontos] a curva
é o círculo
, onde
varia de
a
.
(a)
(b)
©
Nos problemas de 1 à 4 , encontre a soluqão geral do EDO: