Nos problemas de 1 à 4 , encontre a soluqão geral do EDO:

Passo 1

Beleza, então a gente tem esse problema de equação diferencial: , onde . A matéria que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente das EDOs lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar um fator integrante que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação de uma forma mais familiar. A gente pode dividir todos os termos por para isolar :
Assim, a equação fica na forma padrão de uma EDO linear: , onde e .

Passo 3

Agora, a gente precisa encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, transforma o lado esquerdo em uma derivada exata. A fórmula do fator integrante é:
Vamos calcular isso com :
Como , podemos simplificar para .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
O lado esquerdo agora é a derivada de em relação a :

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a para encontrar :
A integral do lado direito pode ser resolvida por partes, onde a gente define:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Então:

Passo 6

Agora, resolvemos para dividindo todos os termos por :
Podemos simplificar um pouco mais:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
é

Exercícios relacionados

Nos problemas de 1 à 4 , encontre a soluqão geral do EDO:
Calcule quando:
(a) pontos a curva é o semicírculo , onde varia de 0 a .
(b) pontos] a curva é o semicírculo , onde varia de 0 a .
© pontos] a curva é o círculo , onde varia de a .
Determine os limites se existirem:
Identifique o tipo de singularidade de cada função; e no caso de pólo determine sua ordem e o resíduo da função em cada pólo.
(a) pontos .
(b) pontos .