Nos problemas de 1 à 4 , encontre a soluqão geral do EDO:
Passo 1
Beleza, então a gente tem esse problema de equação diferencial:
, onde
. A matéria que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente das EDOs lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar um fator integrante que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação de uma forma mais familiar. A gente pode dividir todos os termos por
para isolar
:
Assim, a equação fica na forma padrão de uma EDO linear:
, onde
e
.
Passo 3
Agora, a gente precisa encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, transforma o lado esquerdo em uma derivada exata. A fórmula do fator integrante
é:
Vamos calcular isso com
:
Como
, podemos simplificar para
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
para encontrar
:
A integral do lado direito pode ser resolvida por partes, onde a gente define:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Então:
Passo 6
Agora, resolvemos para
dividindo todos os termos por
:
Podemos simplificar um pouco mais:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Nos problemas de 1 à 4 , encontre a soluqão geral do EDO:
Calcule
quando:
(a) pontos
a curva
é o semicírculo
, onde
varia de 0 a
.
(b) pontos] a curva
é o semicírculo
, onde
varia de 0 a
.
© pontos] a curva
é o círculo
, onde
varia de
a
.
(a)
(b)
©
Determine os limites se existirem:
Identifique o tipo de singularidade de cada função; e no caso de pólo determine sua ordem e o resíduo da função em cada pólo.
(a) pontos
.
(b) pontos
.
(a)
(b)