Calcule , onde é o losango de vértices . pontos

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . Primeiro, vamos entender o que temos aqui:
  • Enunciado resumido: Precisamos calcular a integral de uma função complexa ao longo de um caminho específico chamado , que é um losango com vértices em e .
  • Matéria envolvida: Cálculo de integrais no plano complexo, especificamente usando o Teorema dos Resíduos.
  • O que vamos precisar:
    • Identificar os pólos da função dentro do contorno .
    • Calcular os resíduos nesses pólos.
    • Aplicar o Teorema dos Resíduos para encontrar o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pólos da função . Os pólos são os valores de que tornam o denominador zero:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos dois pólos:

Passo 3

Agora, vamos analisar quais desses pólos estão dentro do contorno . O contorno é um losango com vértices em (ao longo do eixo real) e (ao longo do eixo imaginário).
  • O pólo em está no eixo real, mas como o vértice é em , ele está fora do contorno.
  • O pólo em também está no eixo real e, como o vértice é em , ele está dentro do contorno.
Então, apenas está dentro de .

Passo 4

Agora, vamos calcular o resíduo da função no pólo . Para uma simples função racional como essa, o resíduo no pólo simples pode ser encontrado pela fórmula:
Onde:
  • , então
Aplicando isso em :

Passo 5

Agora que temos o resíduo, podemos aplicar o Teorema dos Resíduos, que diz que se uma função tem resíduos dentro de um contorno fechado , então:
Como só temos um resíduo dentro de , a integral fica:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule quando: a curva é o círculo , onde varia de a . pontos
Determine os limites se existirem:
Determine os zeros, e as respectivas ordem, da funções: . pontos
Calcule quando:
(a) pontos a curva é o semicírculo , onde varia de 0 a .
(b) pontos] a curva é o semicírculo , onde varia de 0 a .
© pontos] a curva é o círculo , onde varia de a .