Calcule
, onde
é o losango de vértices
.
pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
. Primeiro, vamos entender o que temos aqui:
- Enunciado resumido: Precisamos calcular a integral de uma função complexa ao longo de um caminho específico chamado
, que é um losango com vértices em e . - Matéria envolvida: Cálculo de integrais no plano complexo, especificamente usando o Teorema dos Resíduos.
- O que vamos precisar:
- Identificar os pólos da função dentro do contorno
. - Calcular os resíduos nesses pólos.
- Aplicar o Teorema dos Resíduos para encontrar o valor da integral.
- Identificar os pólos da função dentro do contorno
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pólos da função
. Os pólos são os valores de
que tornam o denominador zero:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos dois pólos:
Passo 3
Agora, vamos analisar quais desses pólos estão dentro do contorno
. O contorno é um losango com vértices em
(ao longo do eixo real) e
(ao longo do eixo imaginário).
- O pólo em
está no eixo real, mas como o vértice é em , ele está fora do contorno. - O pólo em
também está no eixo real e, como o vértice é em , ele está dentro do contorno.
Então, apenas
está dentro de
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o resíduo da função no pólo
. Para uma simples função racional como essa, o resíduo no pólo simples
pode ser encontrado pela fórmula:
Onde:
-
-
, então
Aplicando isso em
:
Passo 5
Agora que temos o resíduo, podemos aplicar o Teorema dos Resíduos, que diz que se uma função tem resíduos dentro de um contorno fechado
, então:
Como só temos um resíduo dentro de
, a integral fica:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Calcule
quando: a curva
é o círculo
, onde
varia de
a
.
pontos
Determine os limites se existirem:
Determine os zeros, e as respectivas ordem, da funções:
.
pontos
Calcule
quando:
(a) pontos
a curva
é o semicírculo
, onde
varia de 0 a
.
(b) pontos] a curva
é o semicírculo
, onde
varia de 0 a
.
© pontos] a curva
é o círculo
, onde
varia de
a
.
(a)
(b)
©