Calcule integralgamma z e^zz^2-2 z-3 d z, onde gamma é o losango de vértices pm 2 e pm i. [1,5 pontos ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integralgamma z e^zz^2-2 z-3 , dz. Primeiro, vamos entender o que temos aqui:
  • Enunciado resumido: Precisamos calcular a integral de uma função complexa ao longo de um caminho específico chamado gamma, que é um losango com vértices em pm 2 e pm i.
  • Matéria envolvida: Cálculo de integrais no plano complexo, especificamente usando o Teorema dos Resíduos.
  • O que vamos precisar:
    • Identificar os pólos da função dentro do contorno gamma.
    • Calcular os resíduos nesses pólos.
    • Aplicar o Teorema dos Resíduos para encontrar o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pólos da função z e^zz^2-2 z-3. Os pólos são os valores de z que tornam o denominador zero:
z^2 - 2z - 3 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
z = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Então, temos dois pólos:
z = 3 e z = -1

Passo 3

Agora, vamos analisar quais desses pólos estão dentro do contorno gamma. O contorno é um losango com vértices em pm 2 (ao longo do eixo real) e pm i (ao longo do eixo imaginário).
  • O pólo em z = 3 está no eixo real, mas como o vértice é em 2, ele está fora do contorno.
  • O pólo em z = -1 também está no eixo real e, como o vértice é em -2, ele está dentro do contorno.
Então, apenas z = -1 está dentro de gamma.

Passo 4

Agora, vamos calcular o resíduo da função no pólo z = -1. Para uma simples função racional como essa, o resíduo no pólo simples z0 pode ser encontrado pela fórmula:
Res(f, z0) = N(z0)D'(z0)
Onde:
  • N(z) = z e^z
  • D(z) = z^2 - 2z - 3, então D'(z) = 2z - 2
Aplicando isso em z = -1:
Res(z e^zz^2-2 z-3, -1) = (-1) e^-12(-1) - 2 = -e^-1-4 = e^-14

Passo 5

Agora que temos o resíduo, podemos aplicar o Teorema dos Resíduos, que diz que se uma função tem resíduos dentro de um contorno fechado gamma, então:
integralgamma f(z) , dz = 2pi i times sum Res(f, zk)
Como só temos um resíduo dentro de gamma, a integral fica:
integralgamma z e^zz^2-2 z-3 , dz = 2pi i times e^-14 = pi i2 e

Resposta

A integral vale dfracpi,i2,e.

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