Calcule
quando: a curva
é o círculo
, onde
varia de
a
.
pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de contorno na matemática complexa. A gente precisa calcular a integral
, onde a curva
é o círculo dado por
com
variando de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de integração complexa e propriedades de integrais ao longo de curvas fechadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que está dentro da integral:
. Podemos separar essa fração em duas partes:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente. A primeira parte é
. Essa é a integral de uma constante ao longo de uma curva fechada. Sabemos que, em integração complexa, a integral de uma função constante sobre uma curva fechada é zero. Então:
Passo 4
A segunda parte é
. Aqui, usamos um resultado importante da análise complexa chamado Teorema de Cauchy. Esse teorema nos diz que, se
é uma curva fechada que envolve o ponto singular
, então:
Como temos um fator 2, a integral fica:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.
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Determine os limites se existirem:
Identifique o tipo de singularidade de cada função; e no caso de pólo determine sua ordem e o resíduo da função em cada pólo:
.
pontos
Calcule
, onde
é o losango de vértices
.
pontos
Determine os zeros, e as respectivas ordem, da funções:
.
pontos