Calcule integralC z+2z d z quando: a curva C é o círculo z=2 e^i theta, onde theta varia de -pi a pi. [0.5 pontos ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de contorno na matemática complexa. A gente precisa calcular a integral , onde a curva é o círculo dado por com variando de a . Para isso, vamos usar conceitos de integração complexa e propriedades de integrais ao longo de curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que está dentro da integral: z+2z = zz + 2z = 1 + 2z . Podemos separar essa fração em duas partes:
integralC (1 + 2z) dz = integralC 1 , dz + 2 integralC 1z , dz
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente. A primeira parte é integralC 1 , dz = 0 . Essa é a integral de uma constante ao longo de uma curva fechada. Sabemos que, em integração complexa, a integral de uma função constante sobre uma curva fechada é zero. Então:

Passo 4

A segunda parte é integralC 1z , dz = 2pi i . Aqui, usamos um resultado importante da análise complexa chamado Teorema de Cauchy. Esse teorema nos diz que, se 2 integralC 1z , dz = 2 times 2pi i = 4pi i é uma curva fechada que envolve o ponto singular , então:
Como temos um fator 2, a integral fica:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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