Identifique o tipo de singularidade de cada função; e no caso de pólo determine sua ordem e o resíduo da função em cada pólo:
.
pontos
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão. A gente precisa identificar o tipo de singularidade da função
. Se for um pólo, também vamos determinar sua ordem e o resíduo em cada pólo. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que são singularidades, pólos, ordem do pólo e resíduos na análise complexa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma singularidade de uma função ocorre nos pontos onde a função não é analítica, ou seja, onde ela “falha” de ser bem comportada. Existem alguns tipos de singularidades: pontos removíveis, pólos e singularidades essenciais.
Passo 3
Vamos identificar onde a função
tem singularidades. Olhando a fórmula, vemos que o denominador é
. Então, as singularidades ocorrem onde
. Isso acontece quando
ou quando
.
Passo 4
A solução
ocorre em
, onde
é um inteiro. Então, as singularidades de
estão em
e em todos os múltiplos de
, ou seja,
para
.
Passo 5
Agora, vamos identificar o tipo de cada singularidade. Se a função pode ser escrita como uma série de potências com apenas termos negativos finitos, temos um pólo. Se tiver infinitos termos negativos, é uma singularidade essencial. Se não houver termos negativos, é um ponto removível.
Passo 6
No nosso caso, em
, temos
. Sabemos que
pode ser expandido em série de Taylor:
Então, perto de
:
Multiplicando por
, temos:
Isso mostra que em
, a função tem um termo
, o que significa que é um pólo de ordem 2.
Passo 7
Para os
, com
, sabemos que
tem zeros simples, já que a derivada de
em
é
. Portanto, em cada
, a função
tem um pólo simples, ou seja, de ordem 1.
Passo 8
Agora, vamos calcular o resíduo em cada pólo. O resíduo em um pólo simples
é dado por:
Para
, que é um pólo de ordem 2, precisamos usar uma fórmula específica para pólos de ordem maior. Mas como a questão pede o resíduo apenas nos pólos simples, focaremos nos
.
Passo 9
Calculando o resíduo em
:
Como
, temos:
Resposta
A função
possui:
- Um pólo de segunda ordem em
. - Pólos simples em cada
para todo inteiro .
O resíduo em cada pólo simplesé .
Exercícios relacionados
Utilizando SOMENTE a definição de integral de linha, prove que: se
é uma função contínua na origem e
é o caminho fechado
, então
.[DICA:
.]
Determine os limites se existirem:
Determine os limites se existirem:
Calcule
quando: a curva
é o círculo
, onde
varia de
a
.
pontos