Identifique o tipo de singularidade de cada função; e no caso de pólo determine sua ordem e o resíduo da função em cada pólo: . pontos

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão. A gente precisa identificar o tipo de singularidade da função . Se for um pólo, também vamos determinar sua ordem e o resíduo em cada pólo. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que são singularidades, pólos, ordem do pólo e resíduos na análise complexa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma singularidade de uma função ocorre nos pontos onde a função não é analítica, ou seja, onde ela “falha” de ser bem comportada. Existem alguns tipos de singularidades: pontos removíveis, pólos e singularidades essenciais.

Passo 3

Vamos identificar onde a função tem singularidades. Olhando a fórmula, vemos que o denominador é . Então, as singularidades ocorrem onde . Isso acontece quando ou quando .

Passo 4

A solução ocorre em , onde é um inteiro. Então, as singularidades de estão em e em todos os múltiplos de , ou seja, para .

Passo 5

Agora, vamos identificar o tipo de cada singularidade. Se a função pode ser escrita como uma série de potências com apenas termos negativos finitos, temos um pólo. Se tiver infinitos termos negativos, é uma singularidade essencial. Se não houver termos negativos, é um ponto removível.

Passo 6

No nosso caso, em , temos . Sabemos que pode ser expandido em série de Taylor:
Então, perto de :
Multiplicando por , temos:
Isso mostra que em , a função tem um termo , o que significa que é um pólo de ordem 2.

Passo 7

Para os , com , sabemos que tem zeros simples, já que a derivada de em é . Portanto, em cada , a função tem um pólo simples, ou seja, de ordem 1.

Passo 8

Agora, vamos calcular o resíduo em cada pólo. O resíduo em um pólo simples é dado por:
Para , que é um pólo de ordem 2, precisamos usar uma fórmula específica para pólos de ordem maior. Mas como a questão pede o resíduo apenas nos pólos simples, focaremos nos .

Passo 9

Calculando o resíduo em :
Como , temos:

Resposta

A função possui:
  • Um pólo de segunda ordem em .
  • Pólos simples em cada para todo inteiro .
    O resíduo em cada pólo simples é .

Exercícios relacionados

Utilizando SOMENTE a definição de integral de linha, prove que: se é uma função contínua na origem e é o caminho fechado , então .[DICA: .]
Determine os limites se existirem:
Determine os limites se existirem:
Calcule quando: a curva é o círculo , onde varia de a . pontos