Determine os limites se existirem: lim x +infty x^2ln x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema pertence ao conteúdo de Limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como as funções e se comportam quando cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções no numerador e no denominador separadamente. À medida que aumenta:
  • A função cresce muito rápido, quadraticamente.
  • A função cresce, mas de forma muito mais lenta, logarithmicamente.

Passo 3

Para entender melhor, vamos comparar as taxas de crescimento. Sabemos que, para limites no infinito, funções polinomiais como crescem mais rápido que funções logarítmicas como . Isso significa que, conforme fica muito grande, o numerador vai dominar o denominador .

Passo 4

Podemos formalizar isso observando que:
limx +infty x^2ln x = +infty
Isso acontece porque o crescimento ilimitado de supera qualquer crescimento limitado de .

Resposta

limx +infty x^2ln x = +infty

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