Determine se a sequência a_n = (n^3 + 2n + 1) / (n^3 + n^2 + n + 1) converge. Se sim, encontre o limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência converge, ou seja, se ela se aproxima de algum número quando fica bem grande. Vamos usar conceitos de limite de sequências para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador também é . Quando estamos calculando o limite de uma sequência racional (fração de polinômios), o comportamento dela quando cresce muito depende dos termos de maior grau.

Passo 3

Vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por , que é o maior grau presente:

Passo 4

Agora, observamos o que acontece com cada termo quando tende ao infinito:
  • tende a 0.
  • tende a 0.
  • tende a 0.
  • tende a 0.
  • tende a 0.
Então, a expressão simplifica para:

Passo 5

Portanto, o limite da sequência quando tende ao infinito é 1. Isso significa que a sequência converge para 1.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 1.

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