Calcule:
integrale^e^4 d xx ln x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve o cálculo de integrais usando substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador da fração é . Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar .

Passo 3

Com a substituição du = 1x dx Rightarrow dx = x , du , precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Mas como (já que ), podemos substituir por .

Passo 4

Substituindo integral dxx ln x = integral e^u due^u cdot u = integral duu e na integral original, ficamos com:
Isso simplifica muito a integral, tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, a integral integral duu = ln |u| + C é uma integral básica cujo resultado é , onde é a constante de integração. Portanto:

Passo 6

Voltando à variável original ln |ln x| + C , lembramos que . Substituindo de volta, temos:
Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração.

Passo 7

Aplicando os limites de [ ln (ln x) ]e^e^4 = ln (ln e^4) - ln (ln e) de ln (4) - ln (1) a ln 4 , temos:
Sabemos que e , então substituindo:
Como , simplificamos para:

Resposta

O valor da integral é .

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