Calcule:
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
. Esse exercício envolve o cálculo de integrais usando substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição adequada que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, observamos que o denominador da fração é
. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar
.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Mas como
(já que
), podemos substituir
por
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, ficamos com:
Isso simplifica muito a integral, tornando-a mais fácil de resolver.
Passo 5
Agora, a integral
é uma integral básica cujo resultado é
, onde
é a constante de integração. Portanto:
Passo 6
Voltando à variável original
, lembramos que
. Substituindo de volta, temos:
Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração.
Passo 7
Aplicando os limites de
de
a
, temos:
Sabemos que
e
, então substituindo:
Como
, simplificamos para:
Resposta
O valor da integral é
.
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