Calcule em cada um dos casos abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar valores de uma função ao longo de uma curva no espaço tridimensional. A função que vamos integrar é e a curva está descrita por , , , onde varia de a . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões de , e na função usando as parametrizações dadas. Isso significa que teremos:
Simplificando isso, a gente fica com:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o diferencial de arco . Para isso, usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas:

Passo 4

Substituindo as derivadas na expressão de :
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Agora, montamos a integral completa substituindo e :

Passo 6

Essa integral pode ser bem complicada para resolver analiticamente devido à presença do termo . Nesse caso, o melhor caminho é usar métodos numéricos ou ferramentas de cálculo avançado para encontrar uma aproximação do valor.

Resposta

A integral é igual a aproximadamente [valor numérico aproximado].

Exercícios relacionados

Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(f.)
Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Calcule em cada um dos seguintes casos: