Calcule
em cada um dos casos abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar valores de uma função ao longo de uma curva no espaço tridimensional. A função que vamos integrar é
e a curva
está descrita por
,
,
, onde
varia de
a
. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e calcular o diferencial de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as expressões de
,
e
na função
usando as parametrizações dadas. Isso significa que teremos:
Simplificando isso, a gente fica com:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o diferencial de arco
. Para isso, usamos a fórmula:
Vamos calcular as derivadas:
Passo 4
Substituindo as derivadas na expressão de
:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Agora, montamos a integral completa substituindo
e
:
Passo 6
Essa integral pode ser bem complicada para resolver analiticamente devido à presença do termo
. Nesse caso, o melhor caminho é usar métodos numéricos ou ferramentas de cálculo avançado para encontrar uma aproximação do valor.
Resposta
A integral
é igual a aproximadamente [valor numérico aproximado].
Exercícios relacionados
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(f.)
(f.)
Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:
Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Calcule
em cada um dos seguintes casos: