Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco: r(t) = (sen(t), cos(t)), t ≥ 0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se a curva dada por , para , está parametrizada pelo comprimento de arco. Isso faz parte do estudo de parametrizações de curvas na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da curva em relação a t ≥ 0 e verificar se a velocidade (ou seja, a norma dessa derivada) é igual a 1 em todos os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da posição vec(r)(t) em relação a t. A derivada da posição em relação ao parâmetro nos dá o vetor velocidade da curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma (ou magnitude) do vetor velocidade . A norma é dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos componentes do vetor.

Passo 4

Sabemos que para qualquer valor de . Portanto,
t
Isso significa que a velocidade da curva é constante e igual a 1 em todos os pontos.

Resposta

Sim, a curva está parametrizada pelo comprimento de arco.

Exercícios relacionados