Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se a curva dada por , para
, está parametrizada pelo comprimento de arco. Isso faz parte do estudo de parametrizações de curvas na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da curva em relação a
e verificar se a velocidade (ou seja, a norma dessa derivada) é igual a 1 em todos os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da posição
em relação a
. A derivada da posição em relação ao parâmetro nos dá o vetor velocidade da curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma (ou magnitude) do vetor velocidade
. A norma é dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos componentes do vetor.
Passo 4
Sabemos que para qualquer valor de
. Portanto,
Isso significa que a velocidade da curva é constante e igual a 1 em todos os pontos.
Resposta
Sim, a curva está parametrizada pelo comprimento de arco.
Exercícios relacionados
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(d.)
(d.)
Resolva o problema de valor inicial
para
.
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(f.)
(f.)
Calcule
em cada um dos casos abaixo: