Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, também precisamos encontrar uma função potencial da qual ele deriva. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente relacionados a campos vetoriais conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função escalar
tal que
. Isso significa que:
onde
e
são as componentes do campo vetorial
.
Passo 3
Para verificar se o campo é conservativo, usamos a condição necessária em duas dimensões:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Primeiro, identifique as funções
e
do campo vetorial:
Passo 5
Calculemos
:
Passo 6
Agora, calculemos
:
Passo 7
Compare as duas derivadas:
Como elas são iguais, o campo vetorial
é conservativo.
Passo 8
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Começamos integrando
em relação a
:
onde
é uma função de integração que pode depender apenas de
.
Passo 9
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Portanto:
Passo 10
Integrando
em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 11
Substituindo
na expressão de
:
Podemos desconsiderar a constante
se estamos apenas procurando uma função potencial.
Resposta
Sim, o campo vetorial é conservativo. Uma função potencial que o gera é: