Verifique se os campos F abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
F(x, y) = (y^2 - 3x) i + (2xy + cos(y)) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, também precisamos encontrar uma função potencial da qual ele deriva. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente relacionados a campos vetoriais conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função escalar tal que . Isso significa que:
onde e são as componentes do campo vetorial .

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, usamos a condição necessária em duas dimensões:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Primeiro, identifique as funções e do campo vetorial:

Passo 5

Calculemos :

Passo 6

Agora, calculemos :

Passo 7

Compare as duas derivadas:
Como elas são iguais, o campo vetorial é conservativo.

Passo 8

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Começamos integrando em relação a :
onde é uma função de integração que pode depender apenas de .

Passo 9

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Portanto:

Passo 10

Integrando em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 11

Substituindo na expressão de :
Podemos desconsiderar a constante se estamos apenas procurando uma função potencial.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo. Uma função potencial que o gera é:

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