Calcule
em cada um dos seguintes casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
e a parametrização da curva
são dadas. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, que envolvem integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
e a parametrização
:
Passo 3
Para calcular a integral de linha, precisamos substituir a parametrização
no campo
. Ou seja, vamos expressar
em termos de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que representa o vetor tangente à curva:
Passo 5
A integral de linha
pode ser calculada como a integral definida do produto escalar de
e
em relação a
:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 7
Agora, precisamos integrar essa expressão de
a
:
Passo 8
Observamos que a função no numerador é a derivada do denominador:
Não corresponde exatamente ao numerador, mas podemos ajustar:
Perceba que:
Então,
Passo 9
Portanto, a integral fica:
Passo 10
Vamos avaliar nos limites:
Para
:
Para
:
Resposta
A integral de linha
é igual a zero.
Exercícios relacionados
Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Calcule
em cada um dos casos abaixo:
Seja
a porção da curva do primeiro octante, que corresponde à interseção do plano
com o cilindro
, percorrida do ponto
ao ponto
. Calcule
Determine o domínio das funções:
(a)
(a)