Calcule em cada um dos seguintes casos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e a parametrização da curva são dadas. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, que envolvem integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial e a parametrização :

Passo 3

Para calcular a integral de linha, precisamos substituir a parametrização no campo . Ou seja, vamos expressar em termos de :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , que representa o vetor tangente à curva:

Passo 5

A integral de linha pode ser calculada como a integral definida do produto escalar de e em relação a :

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão de a :

Passo 8

Observamos que a função no numerador é a derivada do denominador:
Não corresponde exatamente ao numerador, mas podemos ajustar:
Perceba que:
Então,

Passo 9

Portanto, a integral fica:

Passo 10

Vamos avaliar nos limites:
Para :
Para :

Resposta

A integral de linha é igual a zero.

Exercícios relacionados

Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Calcule em cada um dos casos abaixo:
Seja a porção da curva do primeiro octante, que corresponde à interseção do plano com o cilindro , percorrida do ponto ao ponto . Calcule
Determine o domínio das funções:
(a)