Calcule integralgamma F cdot d r em cada um dos seguintes casos:
F(x, y)=xraizx^2+y^2 i+yraizx^2+y^2 j, r(t)=t i+(t^2+1) j,-1 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e a parametrização da curva são dadas. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, que envolvem integrar um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F(x, y) = xraizx^2+y^2 i + yraizx^2+y^2 j e a parametrização r(t) = t i + (t^2+1) j, -1 <= t <= 1 :

Passo 3

Para calcular a integral de linha, precisamos substituir a parametrização F(r(t)) = traizt^2 + (t^2+1)^2 i + t^2+1raizt^2 + (t^2+1)^2 j no campo . Ou seja, vamos expressar em termos de :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de r'(t) = ddt ( t i + (t^2+1) j ) = i + 2t j em relação a , que representa o vetor tangente à curva:

Passo 5

A integral de linha integral-1^1 F(r(t)) cdot r'(t) , dt pode ser calculada como a integral definida do produto escalar de e em relação a :

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t) = ( traizt^2 + (t^2+1)^2 )(1) + ( t^2+1raizt^2 + (t^2+1)^2 )(2t) :
= t + 2t(t^2+1)raizt^2 + (t^2+1)^2
= t + 2t^3 + 2traizt^2 + t^4 + 2t^2 + 1
= 3t + 2t^3raizt^4 + 3t^2 + 1

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão de integral-1^1 3t + 2t^3raizt^4 + 3t^2 + 1 , dt a :

Passo 8

Observamos que a função no numerador é a derivada do denominador:
ddt (t^4 + 3t^2 + 1) = 4t^3 + 6t
= 2t(2t^2 + 3)
Não corresponde exatamente ao numerador, mas podemos ajustar:
3t + 2t^3 = t(3 + 2t^2)
Perceba que:
Então,

Passo 9

Portanto, a integral fica:

Passo 10

Vamos avaliar nos limites:
Para raiz1^4 + 3(1)^2 + 1 = raiz1 + 3 + 1 = raiz5 :
raiz(-1)^4 + 3(-1)^2 + 1 = raiz1 + 3 + 1 = raiz5
Para :

Resposta

A integral de linha é igual a zero.

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