Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de uma função ao longo de uma curva . A matéria aqui é Cálculo Multivariável, mais especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva e como calcular o elemento de arco .
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . A parametrização nos dá uma forma de descrever a curva usando uma variável, que aqui é . Já temos:
Isso significa que, à medida que varia de 0 a 1, a curva percorre todos os pontos definidos por essas equações.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de arco . Ele representa um pequeno trecho da curva e é calculado usando as derivadas das funções de , e em relação a . A fórmula geral é:
Vamos calcular cada derivada.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Agora, substituímos na fórmula do :
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então,
Perceba que pode ser fatorado como , então:
Passo 6
Agora que temos , vamos substituir tudo na integral:
Substituindo :
Passo 7
Vamos multiplicar as expressões dentro da integral: