Calcule em cada um dos casos abaixo:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de uma função ao longo de uma curva . A matéria aqui é Cálculo Multivariável, mais especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva e como calcular o elemento de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . A parametrização nos dá uma forma de descrever a curva usando uma variável, que aqui é . Já temos:
Isso significa que, à medida que varia de 0 a 1, a curva percorre todos os pontos definidos por essas equações.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de arco . Ele representa um pequeno trecho da curva e é calculado usando as derivadas das funções de , e em relação a . A fórmula geral é:
Vamos calcular cada derivada.

Passo 4

Calculando as derivadas:
Agora, substituímos na fórmula do :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então,
Perceba que pode ser fatorado como , então:

Passo 6

Agora que temos , vamos substituir tudo na integral:
Substituindo :

Passo 7

Vamos multiplicar as expressões dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Somando tudo:

Resposta

A integral de linha vale 2.

Exercícios relacionados

Determine o domínio das funções:
(a)
Seja a porção da curva do primeiro octante, que corresponde à interseção do plano com o cilindro , percorrida do ponto ao ponto . Calcule
Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados:
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.