Calcule integralgamma f(x, y, z) d s em cada um dos casos abaixo:
f(x, y, z)=x+z, gamma: x=t, y=3 t^2raiz6, z=t^3, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de uma função ao longo de uma curva . A matéria aqui é Cálculo Multivariável, mais especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva e como calcular o elemento de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x = t, y = 3 t^2raiz6, z = t^3, com 0 <= t <= 1 . A parametrização nos dá uma forma de descrever a curva usando uma variável, que aqui é . Já temos:
Isso significa que, à medida que varia de 0 a 1, a curva percorre todos os pontos definidos por essas equações.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de arco ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt . Ele representa um pequeno trecho da curva e é calculado usando as derivadas das funções de , e em relação a . A fórmula geral é:
Vamos calcular cada derivada.

Passo 4

Calculando as derivadas:
dxdt = 1
dydt = 3 cdot 2traiz6 = 6traiz6
dzdt = 3t^2
Agora, substituímos na fórmula do ds = raiz1^2 + (6traiz6)^2 + (3t^2)^2 , dt :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
1 + (6traiz6)^2 + (3t^2)^2 = 1 + 36t^26 + 9t^4 = 1 + 6t^2 + 9t^4
Então,
ds = raiz1 + 6t^2 + 9t^4 , dt
Perceba que ds = raiz(3t^2 + 1)^2 , dt = 3t^2 + 1 pode ser fatorado como , então:

Passo 6

Agora que temos integralgamma f(x, y, z) , ds = integral0^1 f(t, 3 t^2raiz6, t^3) cdot (3t^2 + 1) , dt , vamos substituir tudo na integral:
= integral0^1 (t + t^3) cdot (3t^2 + 1) , dt
Substituindo :

Passo 7

Vamos multiplicar as expressões dentro da integral:
(t + t^3)(3t^2 + 1) = t cdot 3t^2 + t cdot 1 + t^3 cdot 3t^2 + t^3 cdot 1 = 3t^3 + t + 3t^5 + t^3 = 4t^3 + t + 3t^5
Então, a integral fica:
integral0^1 (3t^5 + 4t^3 + t) , dt

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^1 3t^5 , dt = 3 cdot t^66 |0^1 = 36 (1^6 - 0) = 12
integral0^1 4t^3 , dt = 4 cdot t^44 |0^1 = (1^4 - 0) = 1
integral0^1 t , dt = t^22 |0^1 = 12 (1^2 - 0) = 12
Somando tudo:
12 + 1 + 12 = 2

Resposta

A integral de linha vale 2.

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