Seja a porção da curva do primeiro octante, que corresponde à interseção do plano com o cilindro , percorrida do ponto ao ponto . Calcule

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de uma curva no primeiro octante onde o plano intersecta o cilindro . O conteúdo que vamos usar aqui é o de cálculo de integrais de linha em espaço tridimensional. Para isso, precisamos parametrizar a curva e expressar todas as variáveis em termos de um parâmetro único.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Sabemos que , então podemos usar como nosso parâmetro. A equação do cilindro é . Resolvendo para :
Então, nossa parametrização fica:
Aqui, varia de 0 (no ponto ) até (no ponto ).

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral de linha em termos do parâmetro . A integral original é:
Como , temos . Substituindo na integral:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
Vamos calcular essa integral:
Avaliado de 0 a :

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule em cada um dos seguintes casos:
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Determine o domínio das funções:
(a)
Calcule em cada um dos casos abaixo:
.