Seja gamma a porção da curva do primeiro octante, que corresponde à interseção do plano x=y com o cilindro 2 y^2+z^2=1, percorrida do ponto A=(0,0,1) ao ponto B=(raiz2 / 2, raiz2 / 2,0). Calcule
integralgamma x(1-y^2y^2+z^2)^1 / 2 d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de uma curva no primeiro octante onde o plano intersecta o cilindro . O conteúdo que vamos usar aqui é o de cálculo de integrais de linha em espaço tridimensional. Para isso, precisamos parametrizar a curva e expressar todas as variáveis em termos de um parâmetro único.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva z = raiz1 - 2y^2 . Sabemos que x = y, y = y, z = raiz1 - 2y^2 , então podemos usar como nosso parâmetro. A equação do cilindro é . Resolvendo para :
Então, nossa parametrização fica:
Aqui, varia de 0 (no ponto ) até (no ponto ).

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral de linha em termos do parâmetro integralgamma x(1 - y^2y^2 + z^2)^1/2 , dx . A integral original é:
integral0^raiz22 y (1 - y^2y^2 + (1 - 2y^2))^1/2 dy
Como , temos . Substituindo na integral:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
y^2 + z^2 = y^2 + (1 - 2y^2) = 1 - y^2
Portanto, a integral fica:
integral0^raiz22 y (1 - y^21 - y^2)^1/2 dy = integral0^raiz22 y cdot 1 , dy

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral0^raiz22 y , dy
Vamos calcular essa integral:
integral y , dy = y^22 + C
Avaliado de 0 a y^22 |0^raiz22 = (raiz22)^22 - 0 = 242 = 122 = 14 :

Resposta

O valor da integral é .

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