Seja a porção da curva do primeiro octante, que corresponde à interseção do plano com o cilindro , percorrida do ponto ao ponto . Calcule
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular uma integral de linha ao longo de uma curva no primeiro octante onde o plano intersecta o cilindro . O conteúdo que vamos usar aqui é o de cálculo de integrais de linha em espaço tridimensional. Para isso, precisamos parametrizar a curva e expressar todas as variáveis em termos de um parâmetro único.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Sabemos que , então podemos usar como nosso parâmetro. A equação do cilindro é . Resolvendo para :
Então, nossa parametrização fica:
Aqui, varia de 0 (no ponto ) até (no ponto ).
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral de linha em termos do parâmetro . A integral original é: