Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A questão pede para verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial da qual ele deriva. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que . Isso significa que as derivadas parciais de em relação a , e correspondem às componentes de .

Passo 3

Para verificar se é conservativo, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais. Ou seja, as segundas derivadas mistas devem ser iguais:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Calculando e :
Como são iguais, está ok até agora.

Passo 5

Agora, calculando e :
Também são iguais, então ainda tudo certo.

Passo 6

Por último, vamos calcular e :
Como todas as derivadas cruzadas estão iguais, podemos concluir que o campo é conservativo.

Passo 7

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Onde é uma função de e .

Passo 8

Agora, vamos derivar em relação a e igualar à segunda componente de :
Isso implica que , então não depende de : .

Passo 9

Agora, derivamos em relação a :
Isso implica que , então é constante. Podemos considerar essa constante como zero sem perda de generalidade.

Resposta

O campo é conservativo e a função potencial é .

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.
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(b)