Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A questão pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função potencial
da qual ele deriva. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar
tal que
. Isso significa que as derivadas parciais de
em relação a
,
e
correspondem às componentes de
.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais. Ou seja, as segundas derivadas mistas devem ser iguais:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 4
Calculando
e
:
Como são iguais, está ok até agora.
Passo 5
Agora, calculando
e
:
Também são iguais, então ainda tudo certo.
Passo 6
Por último, vamos calcular
e
:
Como todas as derivadas cruzadas estão iguais, podemos concluir que o campo
é conservativo.
Passo 7
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Onde
é uma função de
e
.
Passo 8
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda componente de
:
Isso implica que
, então
não depende de
:
.
Passo 9
Agora, derivamos
em relação a
:
Isso implica que
, então
é constante. Podemos considerar essa constante como zero sem perda de generalidade.
Resposta
O campo
é conservativo e a função potencial é
.
Exercícios relacionados
Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados:
Calcule
em cada um dos casos abaixo:
.
Calcule
em cada um dos casos a seguir:
, onde
é o segmento de reta de
a
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(b)
(b)