Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a curvatura da curva dada pela função vetorial
no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de curvatura, que basicamente nos diz o quanto a curva está “curvando” naquele ponto. Precisamos calcular as derivadas primeira e segunda da função vetorial e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir qual valor de
corresponde ao ponto
. Olhando para a função, temos:
Então,
é o parâmetro que nos dá o ponto
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada da função vetorial
em relação a
:
Calculando cada componente:
Então,
No
,
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada da função vetorial
:
Calculando cada componente:
Então,
No
,
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da curvatura para curvas parametrizadas:
Como estamos no plano, o produto vetorial simplifica para:
Calculando no
:
Então,
E a magnitude de
é:
Elevando ao cubo:
Agora, calculamos a curvatura:
Podemos racionalizar o denominador:
Resposta
A curvatura da curva no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Calcule
em cada um dos casos abaixo:
.
Determine o domínio das funções:
(a)
(a)
Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Calcule
em cada um dos casos a seguir:
, onde
é o segmento de reta de
a