Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a curvatura da curva dada pela função vetorial no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de curvatura, que basicamente nos diz o quanto a curva está “curvando” naquele ponto. Precisamos calcular as derivadas primeira e segunda da função vetorial e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual valor de corresponde ao ponto . Olhando para a função, temos:
Então, é o parâmetro que nos dá o ponto .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada da função vetorial em relação a :
Calculando cada componente:
Então,
No ,

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada da função vetorial :
Calculando cada componente:
Então,
No ,

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da curvatura para curvas parametrizadas:
Como estamos no plano, o produto vetorial simplifica para:
Calculando no :
Então,
E a magnitude de é:
Elevando ao cubo:
Agora, calculamos a curvatura:
Podemos racionalizar o denominador:

Resposta

A curvatura da curva no ponto é .

Exercícios relacionados

Calcule em cada um dos casos abaixo:
.
Determine o domínio das funções:
(a)
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Calcule em cada um dos casos a seguir:
, onde é o segmento de reta de a