Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial de onde ele deriva. Isso faz parte do cálculo vetorial, especialmente no estudo de campos vetoriais e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar tal que . Isso quer dizer que o campo pode ser “derivado” de uma função potencial. Uma das maneiras de verificar se um campo é conservativo é calculando seu rotacional. Se o rotacional de for zero, então o campo é conservativo.
Passo 3
Então, vamos calcular o rotacional de . O rotacional, denotado por , nos ajuda a entender se o campo possui propriedades de circulação. Se o rotacional for zero em todos os pontos, o campo não tem “torção” e é conservativo.
Passo 4
Vamos calcular :
Calculando o determinante:
Simplificando as derivadas:
Passo 5
Como o rotacional de é zero (), concluímos que o campo vetorial é conservativo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Passo 7
Vamos integrar cada uma dessas equações parciais para encontrar :
Integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende de e .
Agora, usamos :
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .
Por fim, usamos :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.
Resposta
A função potencial é , onde é uma constante qualquer.