Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial de onde ele deriva. Isso faz parte do cálculo vetorial, especialmente no estudo de campos vetoriais e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar tal que . Isso quer dizer que o campo pode ser “derivado” de uma função potencial. Uma das maneiras de verificar se um campo é conservativo é calculando seu rotacional. Se o rotacional de for zero, então o campo é conservativo.

Passo 3

Então, vamos calcular o rotacional de . O rotacional, denotado por , nos ajuda a entender se o campo possui propriedades de circulação. Se o rotacional for zero em todos os pontos, o campo não tem “torção” e é conservativo.

Passo 4

Vamos calcular :
Calculando o determinante:
Simplificando as derivadas:

Passo 5

Como o rotacional de é zero ( ), concluímos que o campo vetorial é conservativo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:

Passo 7

Vamos integrar cada uma dessas equações parciais para encontrar :
  1. Integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende de e .
  1. Agora, usamos :
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .
  1. Por fim, usamos :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A função potencial é , onde é uma constante qualquer.

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Resolva os problemas de valor inicial:
(a)
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.
Resolva os problemas de valor inicial:
(f)
Calcule em cada um dos casos a seguir:
, onde é o arco da parábola da origem até o ponto