Calcule integralgamma L d x+M d y em cada um dos casos a seguir:
L(x, y)=x^2+x y, Q(x, y)=y^2-x y, onde gamma é o segmento de reta y=x da origem até o ponto (2,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralgamma L , dx + M , dy onde L(x, y) = x^2 + x y e M(x, y) = y^2 - x y. A curva gamma é o segmento de reta y = x, indo da origem (0,0) até o ponto (2,2). Para isso, vamos usar o conceito de integrais de linha em cálculo vetorial. Precisamos parametrizar a curva e substituir nas expressões para L, M, dx e dy.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma. Como y = x e vamos de (0,0) a (2,2), podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 2. Então, temos:
x = t e y = t
Agora, vamos derivar essas expressões em relação a t para encontrar dx e dy:
dx = dxdt dt = 1 , dt e dy = dydt dt = 1 , dt

Passo 3

Substituímos x, y, dx e dy na integral original:
integralgamma L , dx + M , dy = integral0^2 ( x^2 + x y ) dx + ( y^2 - x y ) dy
Como x = t e y = t, fica:
integral0^2 ( t^2 + t cdot t ) cdot 1 , dt + ( t^2 - t cdot t ) cdot 1 , dt
Simplificando as expressões:
integral0^2 ( t^2 + t^2 ) dt + ( t^2 - t^2 ) dt = integral0^2 2t^2 dt + integral0^2 0 , dt
A segunda integral é zero, então ficamos apenas com:
integral0^2 2t^2 dt

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^2 2t^2 dt = 2 integral0^2 t^2 dt
A integral de t^2 é:
integral t^2 dt = t^33 + C
Então:
2 [ t^33 ]0^2 = 2 ( 2^33 - 0^33 ) = 2 ( 83 ) = 163

Resposta

A integral integralgamma L , dx + M , dy vale 163.

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