Determinar uma equação para o plano osculador da hélice
nos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano osculador de uma hélice dada pela função vetorial nos pontos , e .
O plano osculador é aquele que melhor “acaricia” a curva naquele ponto, usando a direção da tangente e da curvatura da hélice. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função vetorial para obter os vetores tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de que corresponde a cada ponto dado na hélice.
Para :
Para :
Para :
Então, os valores de são:
  • :
  • :
  • :

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas primeira e segunda da função vetorial :
Primeira derivada (vetor tangente):
Segunda derivada (vetor de curvatura):

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos calcular os vetores tangente e normal no ponto de interesse.
Primeiro, o vetor tangente é a derivada primeira normalizada:
Onde é o módulo de .
Calculando o módulo:
Então:
O vetor normal é a derivada de em relação a , normalizada:
Calculando :
O módulo de :
Então:

Passo 5

O plano osculador é definido pelo ponto na curva e pelos vetores tangente e normal nesse ponto. Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que pode ser obtido pelo produto vetorial entre e .
Calculando o produto vetorial :
Esse vetor é normal ao plano osculador.

Passo 6

Agora, vamos usar o vetor normal e o ponto dado para montar a equaç��o do plano. A equação geral do plano é:
Onde é o vetor normal e é o ponto no plano.
Para cada ponto dado, substituímos correspondente e calculamos e, então, a equação do plano.
Para com :
Então, a equação do plano:
Multiplicando por para simplificar:
Para com :
A equação do plano será a mesma do :
Para com :
Então, a equação do plano:
Multiplicando por :

Resposta

As equações dos planos osculadores são:
  • Para e :
  • Para :

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Determine o domínio das funções:
(e)
Calcule em cada um dos casos a seguir:
, onde é o segmento de reta da origem até o ponto
Calcule em cada um dos seguintes casos:
.
Determine o domínio das funções:
(f)