Determinar uma equação para o plano osculador da hélice
nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano osculador de uma hélice dada pela função vetorial nos pontos
,
e
.
O plano osculador é aquele que melhor “acaricia” a curva naquele ponto, usando a direção da tangente e da curvatura da hélice. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função vetorial para obter os vetores tangente e normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
que corresponde a cada ponto dado na hélice.
Para
:
Para
:
Para
:
Então, os valores de
são:
-
: -
: -
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas primeira e segunda da função vetorial
:
Primeira derivada (vetor tangente):
Segunda derivada (vetor de curvatura):
Passo 4
Com as derivadas em mãos, vamos calcular os vetores tangente
e normal
no ponto de interesse.
Primeiro, o vetor tangente
é a derivada primeira normalizada:
Onde
é o módulo de
.
Calculando o módulo:
Então:
O vetor normal
é a derivada de
em relação a
, normalizada:
Calculando
:
O módulo de
:
Então:
Passo 5
O plano osculador é definido pelo ponto na curva e pelos vetores tangente e normal nesse ponto. Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que pode ser obtido pelo produto vetorial entre
e
.
Calculando o produto vetorial
:
Esse vetor
é normal ao plano osculador.
Passo 6
Agora, vamos usar o vetor normal
e o ponto dado para montar a equaç��o do plano. A equação geral do plano é:
Onde
é o vetor normal e
é o ponto no plano.
Para cada ponto dado, substituímos
correspondente e calculamos
e, então, a equação do plano.
Para
com
:
Então, a equação do plano:
Multiplicando por
para simplificar:
Para
com
:
A equação do plano será a mesma do
:
Para
com
:
Então, a equação do plano:
Multiplicando por
:
Resposta
As equações dos planos osculadores são:
- Para
e : - Para
:
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Determine o domínio das funções:
(e)
(e)
Calcule
em cada um dos casos a seguir:
, onde
é o segmento de reta
da origem até o ponto
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
.
Determine o domínio das funções:
(f)
(f)