Determine o domínio das funções:
(e)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o domínio da função . O domínio de uma função consiste em todos os valores de para os quais a função está definida. Neste caso, precisamos garantir que:
  1. O denominador não seja zero (para evitar divisão por zero).
  2. A expressão dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero (pois a raiz quadrada de um número negativo não é um número real).

Passo 2

Vamos analisar o denominador . Para que a fração esteja definida, o denominador não pode ser igual a zero. Então:
Isso significa que não faz parte do domínio.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada: . Queremos que essa expressão seja maior ou igual a zero:

Passo 4

Vamos fatorar o numerador , que é uma diferença de quadrados:
Substituindo de volta na expressão:

Passo 5

Para resolver a desigualdade , identificamos os pontos críticos onde a expressão pode mudar de sinal. Esses pontos são:
Esses valores dividem a linha dos números reais em intervalos que vamos analisar separadamente:

Passo 6

Vamos testar cada intervalo para verificar onde a expressão é positiva ou negativa.
  1. Intervalo :
    • Escolha :
    • Resultado: Negativo
  2. Intervalo :
    • Escolha :
    • Resultado: Positivo
  3. Intervalo :
    • Escolha :
    • Resultado: Negativo
  4. Intervalo :
    • Escolha :
    • Resultado: Positivo

Passo 7

Podemos concluir que a expressão é maior ou igual a zero nos intervalos onde o resultado foi positivo:
Além disso, devemos verificar os pontos onde a expressão é igual a zero:
  • Quando :
    A raiz quadrada de 0 é 0, então está no domínio.
  • Quando :
    A raiz quadrada de 0 é 0, então também está no domínio.
O ponto está excluído porque o denominador é zero.

Resposta

O domínio da função é:

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Calcule em cada um dos casos a seguir:
, onde é o segmento de reta da origem até o ponto
Resolva para as equações: .
(b.)
Determinar uma equação para o plano osculador da hélice
nos pontos e .
Calcule em cada um dos seguintes casos:
.