Determine o domínio das funções:
(e)
(e)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função consiste em todos os valores de
para os quais a função está definida. Neste caso, precisamos garantir que:
- O denominador
não seja zero (para evitar divisão por zero). - A expressão dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero (pois a raiz quadrada de um número negativo não é um número real).
Passo 2
Vamos analisar o denominador
. Para que a fração esteja definida, o denominador não pode ser igual a zero. Então:
Isso significa que
não faz parte do domínio.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
. Queremos que essa expressão seja maior ou igual a zero:
Passo 4
Vamos fatorar o numerador
, que é uma diferença de quadrados:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 5
Para resolver a desigualdade
, identificamos os pontos críticos onde a expressão pode mudar de sinal. Esses pontos são:
Esses valores dividem a linha dos números reais em intervalos que vamos analisar separadamente:
Passo 6
Vamos testar cada intervalo para verificar onde a expressão é positiva ou negativa.
-
Intervalo
: - Escolha
: - Resultado: Negativo
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: - Resultado: Positivo
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: - Resultado: Negativo
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
: - Resultado: Positivo
- Escolha
Passo 7
Podemos concluir que a expressão
é maior ou igual a zero nos intervalos onde o resultado foi positivo:
Além disso, devemos verificar os pontos onde a expressão é igual a zero:
-
Quando
: A raiz quadrada de 0 é 0, entãoestá no domínio. -
Quando
: A raiz quadrada de 0 é 0, entãotambém está no domínio.
O ponto
está excluído porque o denominador é zero.
Resposta
O domínio da função
é:
Exercícios relacionados
Calcule
em cada um dos casos a seguir:
, onde
é o segmento de reta
da origem até o ponto
Resolva para
as equações:
.
(b.)
(b.)
Determinar uma equação para o plano osculador da hélice
nos pontos
e
.
Calcule
em cada um dos seguintes casos:
.