Calcule integralgamma L d x+M d y em cada um dos casos a seguir:
L(x, y)=x-y, Q(x, y)=x+y, onde gamma é a circunferência x^2+y^2=4.

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha integralgamma L d x + M d y onde L(x, y) = x - y e M(x, y) = x + y. A curva gamma é a circunferência definida por x^2+y^2=4. Vamos usar o Teorema de Green para facilitar a resolução, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a área delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada gamma e funções L e M com derivadas contínuas:
ointgamma L d x + M d y = integral duplaD ( partial Mpartial x - partial Lpartial y ) d A
onde D é a área dentro de gamma.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Mpartial x = partialpartial x (x + y) = 1
partial Lpartial y = partialpartial y (x - y) = -1

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( 1 - (-1) ) d A = integral duplaD 2 d A
Isso significa que a integral de linha é duas vezes a área da região D.

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da circunferência x^2+y^2=4. O raio dessa circunferência é r = raiz4 = 2. A área de um círculo é dada por:
Área = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi Á

Passo 6

Multiplicando a área por 2, conforme obtivemos:
2 times 4pi = 8pi

Resposta

A integral integralgamma L d x + M d y é igual a 8pi.

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