Calcule
em cada um dos casos a seguir:
, onde
é a circunferência
.
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
onde
e
. A curva
é a circunferência definida por
. Vamos usar o Teorema de Green para facilitar a resolução, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a área delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
e funções
e
com derivadas contínuas:
onde
é a área dentro de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Isso significa que a integral de linha é duas vezes a área da região
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a área da circunferência
. O raio dessa circunferência é
. A área de um círculo é dada por:
Passo 6
Multiplicando a área por 2, conforme obtivemos:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Resolva as equações de Euler para
:
(d)
(d)
Resolva os problemas de valor inicial:
(h)
(h)
Resolva o problema de valor inicial
para
.
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(d.)
(d.)