Calcule em cada um dos casos a seguir:
, onde é a circunferência .

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha onde e . A curva é a circunferência definida por . Vamos usar o Teorema de Green para facilitar a resolução, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a área delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada e funções e com derivadas contínuas:
onde é a área dentro de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Isso significa que a integral de linha é duas vezes a área da região .

Passo 5

Agora, vamos calcular a área da circunferência . O raio dessa circunferência é . A área de um círculo é dada por:
Á

Passo 6

Multiplicando a área por 2, conforme obtivemos:

Resposta

A integral é igual a .

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(d)
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(h)
Resolva o problema de valor inicial para .
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(d.)