Resolva as equações de Euler para :
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Euler que é do tipo para . Esse tipo de equação diferencial é chamado de equação de Cauchy-Euler e é útil quando os coeficientes das derivadas são polinomiais em . Vamos precisar usar a substituição típica para transformar essa equação em uma equação mais fácil de resolver, como uma equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição comum para equações de Euler. Suponha que a solução seja da forma , onde é um número que vamos determinar. Isso significa que:

Passo 3

Agora, substituímos essas derivadas na equação original:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Fatorando da equação:
Como para , podemos ignorar esse fator e resolver a equação característica:
Simplificando:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:

Passo 6

Com raízes complexas da forma , a solução da equação é:
Substituindo e :

Resposta

A solução geral da equação de Euler é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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(h)
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©
Calcule em cada um dos casos a seguir:
, onde é a circunferência .
Resolva o problema de valor inicial para .