Resolva as equações de Euler para
:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Euler que é do tipo
para
. Esse tipo de equação diferencial é chamado de equação de Cauchy-Euler e é útil quando os coeficientes das derivadas são polinomiais em
. Vamos precisar usar a substituição típica para transformar essa equação em uma equação mais fácil de resolver, como uma equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição comum para equações de Euler. Suponha que a solução seja da forma
, onde
é um número que vamos determinar. Isso significa que:
Passo 3
Agora, substituímos essas derivadas na equação original:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Fatorando
da equação:
Como
para
, podemos ignorar esse fator e resolver a equação característica:
Simplificando:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
Passo 6
Com raízes complexas da forma
, a solução da equação é:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução geral da equação de Euler é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Resolva os problemas de valor inicial:
(h)
(h)
Resolva os problemas de valor inicial:
©
©
Calcule
em cada um dos casos a seguir:
, onde
é a circunferência
.
Resolva o problema de valor inicial
para
.