Resolva o problema de valor inicial para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que é uma equação diferencial comum em Cálculo. A equação que temos é:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por (já que ) para facilitar:
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de .

Passo 3

Observando a forma da equação, percebemos que ela é uma equação de Euler ou equação equidimensional, que tem a forma geral:
Para resolver esse tipo de equação, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos substituir na equação original. Primeiramente, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Fatorando da equação:
Como para , podemos igualar o termo dentro dos colchetes a zero:
Simplificando:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática para :
Utilizando a fórmula de Bhaskara:
Encontramos uma raiz dupla .

Passo 7

Quando temos raízes repetidas na equação característica de uma equação de Euler, a solução geral é dada por:
Substituindo :

Passo 8

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, usamos :
Sabemos que , então:

Passo 9

Em seguida, calculamos a derivada de :
Simplificando:
Aplicamos a condição :
Como :
Substituindo :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Calcule em cada um dos casos a seguir:
, onde é a circunferência .
Resolva as equações de Euler para :
(d)
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(d.)
Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco: