Resolva o problema de valor inicial
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que é uma equação diferencial comum em Cálculo. A equação que temos é:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por
(já que
) para facilitar:
Agora, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de
.
Passo 3
Observando a forma da equação, percebemos que ela é uma equação de Euler ou equação equidimensional, que tem a forma geral:
Para resolver esse tipo de equação, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos substituir
na equação original. Primeiramente, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Fatorando
da equação:
Como
para
, podemos igualar o termo dentro dos colchetes a zero:
Simplificando:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática para
:
Utilizando a fórmula de Bhaskara:
Encontramos uma raiz dupla
.
Passo 7
Quando temos raízes repetidas na equação característica de uma equação de Euler, a solução geral é dada por:
Substituindo
:
Passo 8
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, usamos
:
Sabemos que
, então:
Passo 9
Em seguida, calculamos a derivada de
:
Simplificando:
Aplicamos a condição
:
Como
:
Substituindo
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Calcule
em cada um dos casos a seguir:
, onde
é a circunferência
.
Resolva as equações de Euler para
:
(d)
(d)
Esboçar os gráficos das seguintes funções:
(d.)
(d.)
Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco: